브룬 상수

브룬 상수(Brun's constant)는 쌍둥이 소수의 역수를 모두 합한 값이다.

1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다.

두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통 $B_{2}$라고 표기한다.

$B_{2}=\left({1 \over 3}+{1 \over 5}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 7}\right)+\left({1 \over 11}+{1 \over 13}\right)+\left({1 \over 17}+{1 \over 19}\right)+\cdots$

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다.

만약 이 수가 무한한 수였다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다.

그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다.

이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수 $B_{4}$는 다음과 같이 정의된다.

$B_{4}=\left({1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}\right)+\left({1 \over 11}+{1 \over 13}+{1 \over 17}+{1 \over 19}\right)+\cdots$

이 값은 대략 0.875088380에 근접한다.

브룬 상수의 분리

브룬 상수 $B_{2}$를 예약하면,

$B_{2}=U+L$

$U=\sum _{n=>1}{{1} \over {G(n)}}$

$L=\sum _{n=>1}{{1} \over {g(n)}}$

$G(n)=6k+1,(k=>1)$

$g(n)=6k-1,(k=>1)$

$U=0.843096\cdots$

$L=1.059064\cdots$

$B_{2}=U+L=1.9021605831\cdots$

그리고,

브룬 상수 $B$를 예약해서,

$B={{(L-U)} \over {2}}$

$={{1} \over {3\cdot 5}}+{{1} \over {5\cdot 7}}+{{1} \over {11\cdot 13}}+\cdots$

$=\sum _{n=>1}{{1} \over {P(n)}}$

$=0.10798397495\cdots$

$P(n)=p\cdot (p+2)\qquad ,\left\{p=>3\;,p+2=p\;|\;(p,p+2)_{1},(p,p+2)_{2},(p,p+2)_{n},\cdots \right\}$

세쌍둥이 브룬 상수

트리플릿(세쌍둥이, Triplets)브룬 상수는 위의 쌍둥이 브룬상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.

$B_{3b}=\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {p_{1}}}+{{1} \over {p_{1}+4}}+{{1} \over {p_{1}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{2}}}+{{1} \over {p_{2}+4}}+{{1} \over {p_{2}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{3}}}+{{1} \over {p_{3}+4}}+{{1} \over {p_{3}+6}}\right)+\cdots \right)}$

$=\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {7}}+{{1} \over {11}}+{{1} \over {13}}\right)+\left({{1} \over {13}}+{{1} \over {17}}+{{1} \over {19}}\right)+\left({{1} \over {37}}+{{1} \over {41}}+{{1} \over {43}}\right)+\cdots \right)}$

$=0.837113212411\cdots$

같이 보기

• 골롬-딕맨 상수

외부 링크

• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/BrunsConstant.html
• (OEIS)https://web.archive.org/web/20130912151429/http://oeis.org/A065421