고유 함수

일반위상수학에서 고유 함수(固有函數, 영어: proper map)은 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트한 연속 함수이다.

정의

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 고유 함수라고 한다.

K\subset Y

에 대하여,

K^{-1}(f)\subset X

(스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 준콤팩트 함수(準-, 영어: quasicompact map)라고 한다.

K\subset Y

에 대하여,

K^{-1}(f)\subset X

이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 준콤팩트 사상(영어: quasicompact morphism)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. (스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 $Y$ 가 하우스도르프 공간이라면 $Y$ 의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, $Y$ 가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 $Y$ 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다.

정의에 따라서, 연속 함수에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

고유 함수

\subsetneq

준콤팩트 함수

\subsetneq

연속 함수

어떤 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 닫힌 함수이며 또한 모든 점 $y\in Y$ 의 원상이 콤팩트 집합이라면 $f$ 는 고유 함수이다. 만약 $Y$ 가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약 $X,Y$ 가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.

X

속의 수열

x_{i}\in X

가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합

K

에 대하여

K\cap \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }

가 유한 집합이라면,

(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }

를 무한대로 달아난다(영어: escape to infinity)고 한다.

거리 공간 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

준콤팩트 사상이다.^[1]^{:242, Proposition and Definition 10.1(i)}
임의의 아핀 열린집합 $A\subseteq Y$ 에 대하여, $f^{-1}(A)$ 는 콤팩트 집합이다.^[2]^{:91, Exercise II.3.2} (모든 아핀 스킴은 콤팩트 공간이다.)
$Y$ 는 $f$ 에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 $\{\iota _{i}\colon \operatorname {Spec} R_{i}\to Y\}_{i\in I}$ 를 갖는다.^[1]^{:242, Proposition and Definition 10.1(ii)}

그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.^[3]^{:Remark 1.5}

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

↑ ^가 ^나 Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten. 《Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises》 (영어).
↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Vistoli, Angelo (2007). “Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory” (영어). arXiv:math/0412512. Bibcode:2004math.....12512V.

“Proper map”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Compact mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Perfect mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Proper map”. 《nLab》 (영어).
“Quasicompact morphism”. 《nLab》 (영어).