立方数

立方数（りっぽうすう、（英: cubic number）とは、図形数の一種であり、正^{[注釈 1]}の整数の3乗となる数である^[1]（例： $8 = 2 3 = 2 \times 2 \times 2$ ）。図形的には1辺の長さが $n$ の正六面体（立方体）の体積が立方数 $n 3 = n \times n \times n$ に対応する。

最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A578）。

立方数の性質

1を除く全ての立方数は、連続する2つの三角数の平方の差として表される。

n^{3}=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}-\left\{{\dfrac {(n-1)n}{2}}\right\}^{2}\quad n\geqq 2

立方数の列の第2階差数列は公差 $6$ の等差数列であり、第3階差数列は定数列 $6$ である。したがって立方数の列は3階等差数列である。

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。

→詳細は「フェルマーの最終定理」を参照

立方数のうち平方数でもある数は $n 6$ と表せる。また、約数を7個持つ数は全て素数を6乗した数である。

立方数の和

1 から n 番目の立方数 n³ までの和は n 番目の三角数の2乗に等しい^{[注釈 2]}： $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$ $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}={\dfrac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}$
- 具体的には 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A000537）
立方数の逆数和は次の値に収束する： $\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx$ $\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{3}}}={\dfrac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\dfrac {16}{7}}\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,dx$
- この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる
すべての自然数は9個以下の立方数の和として表される（ウェアリングの問題）
- このうち丁度9個の立方数の和で表される数は $23, 239$ だけである
2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である
- 負の整数を含めると絶対値最小は $91 = 3 3 + 4 3 = 6 3 + (-5) 3$ （ただし $0, 1$ は除く）

→詳細は「キャブタクシー数」、「タクシー数」、および「シュリニヴァーサ・ラマヌジャン」を参照

奇数の立方和は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A002593）
偶数の立方和は 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A254371）
連続する3つの立方数の和は 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A027602）
連続する4つの立方数の和は 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である（オンライン整数列大辞典の数列 A027603）
連続する5つの立方数の和は 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375, …である（オンライン整数列大辞典の数列 A027604）
連続する立方数の和として複数通りに表せる数は 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A265845）
連続する3つ以上の立方数の和として表せる立方数は 216, 8000, 64000, 216000, … である（オンライン整数列大辞典の数列 A131643）

脚注

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注釈

^ 0 を含めるかは文献によって異なる。例えば MathWorld の “Cubic Number” の項では正の整数に限っている。一方で OEIS A578 では 0 を含む定義になっている。
^ この性質は視覚的に証明が可能である。“PROBLEM COLLECTION”. 2015年3月12日閲覧。

出典

^ Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld.

参考文献

Weisstein, Eric W. "Cubic Number". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] 0 を含めるかは文献によって異なる。例えば MathWorld の “Cubic Number” の項では正の整数に限っている。一方で OEIS A578 では 0 を含む定義になっている。

[3] この性質は視覚的に証明が可能である。“PROBLEM COLLECTION”. 2015年3月12日閲覧。

[2] Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld.

[注釈 1]

[1]

[注釈 2]

立方数の性質

立方数の和

関連項目

脚注

注釈

出典

参考文献