置換積分

微分積分学において置換積分（ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution）は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。

一変数の置換

不定積分の置換積分

連続関数 $f (x)$ と微分可能関数 $x = g (t)$ について次の等式が成り立つ^{[注 1]}。

\int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.

導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる^[1]。

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int f(x)\,dx&={\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx\cdot {\frac {dx}{dt}}\\&=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\\&={\frac {d}{dt}}\int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}}

この等式から変換公式の両辺の不定積分は $t$ で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。

また、変換公式は形式的に $f (x) = f (g (t))$ と $d x = g' (t) d t$ に分けて考えることができる^[2]。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。

→「微分形式 § 座標変換と積分」も参照

定積分の置換積分

定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される^[1]。

\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.

例

例1

\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx.

$u = x 2 + 1$ で $x$ から $u$ に変数変換する。ここで、 $du = 2 x dx$ なので $x dx = (1/2) du$ である。また、 $x = 0$ に対して $u = 0 2 + 1 = 1$ であり、 $x = 2$ に対して $u = 2 2 + 1 = 5$ であるので、

{\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1))\end{aligned}}

と計算できる。

例2

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx.

$x = sin(u)$ で $x$ から $u$ に変数変換する。このとき、 $dx = cos(u) du$ である。また、 $0 = sin(0)$ および $1 = sin(π/2)$ であることから積分区間を $[0, π/2]$ に変換すると、この区間において $|cos(u)| = cos(u)$ であることに注意して、

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\,du\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|\cos(u)|\cos(u)\,du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\,du\\&={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}

と計算できる。

多変数の置換

→「ヤコビアン」および「多重積分」も参照

$x = φ (u, v)$ , $y = ψ (u, v)$ と変数変換すると

$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(\phi (u,v),\psi (u,v))|J|dudv$

ここで、

$J={\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}=\det \left({\begin{matrix}{\frac {\partial {x}}{\partial {u}}}&{\frac {\partial {x}}{\partial {v}}}\\{\frac {\partial {y}}{\partial {u}}}&{\frac {\partial {y}}{\partial {v}}}\end{matrix}}\right)$