Substituční metoda (integrování)

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci $f(x)$ vyjádřit na intervalu $(a,b)$ ve tvaru $f(x)=g(h(x))h^{\prime }(x)$, kde $h^{\prime }(x)$ je spojitá v intervalu $(a,b)$ a $g(z)$ je spojitá pro všechna $z=h(x)$, pak pro $x\in (a,b)$ platí

$\int f(x)\mathrm {d} x=\int g(h(x))h^{\prime }(x)\mathrm {d} x=\int g(z)\mathrm {d} z=G(z)+C=G(h(x))+C$,

kde byla použita substituce $z=h(x)$.

Jiným případem je substituce $x=\phi (z)$, kde funkce $\phi$ je monotónní pro všechna $z$ z intervalu $(\alpha ,\beta )$ a má na tomto intervalu spojitou derivaci $\phi ^{\prime }$. Potom platí

$\int f(x)\mathrm {d} x=\int f(\phi (z))\phi ^{\prime }(z)\mathrm {d} z=H(z)+C$

Výsledek získáme tak, že ze vztahu $x=\phi (z)$ vyjádříme proměnnou $z$ a dosadíme do $H(z)+C$.

Substituce ve vícerozměrných integrálech

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast $M$ v proměnných $x_{i}$ pro $i=1,2,...,n$, a uzavřenou n-rozměrnou oblast $N$ v proměnných $y_{i}$. Mezi oblastmi $M$ a $N$ nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x_{i}=\phi _{i}(y_{1},y_{2},...,y_{n})$, přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu ${\frac {\partial \phi _{i}}{\partial y_{j}}}$ pro všechna $i,j$ a jakobián ${\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}$ je nenulový, tzn. ${\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}\neq 0$. Pokud je na oblasti $M$ definována spojitá ohraničená funkce $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$, pak

${\iint \cdots \int }_{M}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}={\iint \cdots \int }_{N}f(\phi _{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),\phi _{2}(y_{1},y_{2},...,y_{n}),...,\phi _{n}(y_{1},y_{2},...,y_{n}))\left|{\frac {D(x_{1},x_{2},...,x_{n})}{D(y_{1},y_{2},...,y_{n})}}\right|\mathrm {d} y_{1}\mathrm {d} y_{2}\cdots \mathrm {d} y_{n}$

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x,y$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u,v$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x=x(u,v),y=y(u,v)$, má jakobián tvar

${\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}$

Je-li ${\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}\neq 0$, pak dostaneme pro funkci $f(x,y)$

$\iint _{M}f(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{N}f(x(u,v),y(u,v))\left|{\frac {D(x,y)}{D(u.v)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v$

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí $M$ o souřadnicích $x,y,z$ a oblastí $N$ o souřadnicích $u,v,w$ existuje vzájemně jednoznačné zobrazení $x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)$, má jakobián tvar

${\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial u}}&{\frac {\partial x}{\partial v}}&{\frac {\partial x}{\partial w}}\\{\frac {\partial y}{\partial u}}&{\frac {\partial y}{\partial v}}&{\frac {\partial y}{\partial w}}\\{\frac {\partial z}{\partial u}}&{\frac {\partial z}{\partial v}}&{\frac {\partial z}{\partial w}}\end{vmatrix}}$

Je-li ${\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}\neq 0$, pak pro funkci $f(x,y,z)$ dostaneme výraz

$\iiint _{M}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{N}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\left|{\frac {D(x,y,z)}{D(u.v,w)}}\right|\mathrm {d} u\mathrm {d} v\mathrm {d} w$

Související články

• Substituce

Externí odkazy

• Encyklopedické heslo Substituce v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích