幾何学的性質 PostScriptフォントや、PostsScript形式のOpenTypeフォントで採用されている曲線です。 フランスの自動車メーカーの技術者であるBezier氏が考案したしました。 1つのベジェ曲線は、4つの制御点で構成され、両端の制御点は端点(アンカーポイント)、間の2点は方向点と呼ばれます。 2つ以上のベジェ曲線がつながる場合は、手前のベジェ曲線の端点が、次のベジェ曲線の端点となります。 今、4点P1、P2、P3、P4が与えられ、P1、P4を端点、P2、P3を方向点とします。 P1とP2、P2とP3、P3とP4を直線で結びます。 それぞれの直線を2分割し、分割点を直線で結びます。 この分割を繰り返し、分割数を多くすれば、分割点はベジェ曲線となります。 数学的表現 数式でベジェ曲線を表現すると、 のようになります。 tは0から1までの値をとります。t=0の時、x=x1、

もう少し交点です。今回は2次のベジェ曲線と直線の交点です。 とはいえ、この交点は、直線の式に、ベジェの式を代入すれば素直に求めることができます。 始点p0、終点p1、コントロール点cpの2次ベジェ曲線のx,yは、 //t = 0 to 1 x → p0.x*(1-t)*(1-t) + 2*cp.x*t*(1-t) + p1.x*t*t y → p0.y*(1-t)*(1-t) + 2*cp.y*t*(1-t) + p1.y*t*t ですが、これを直線「ax+by+c=0」に代入すると、tについての2次式になります。 ax+by+c=0 ↓ (b*p1.y+a*p1.x+b*p0.y+a*p0.x-2*b*cp.y-2*a*cp.x)*t*t + (-2*b*p0.y-2*a*p0.x+2*b*cp.y+2*a*cp.x)*t + b*p0.y+a*p0.x+c = 0 この方程式を解いて、

最近は季節変動で呼吸器系をやられつつゲームやり過ぎな毎日ですが、2つの2次ベジェ曲線の交点について簡単に書いてみます。最初は幾何学的に解けるんじゃないかと考えていたのですが、結局は数値解析的な方法で求めました。Bezier Clipping 法の考え方(FatLine)を参考にしています。 交点を求める過程の基本的な考え方は次のような感じです。 図のように曲線Aと曲線Bがあるとき、一方の曲線を包括する矩形を求めます。この矩形は、曲線の始点、終点を水平にしたときのgetRectに相当します。この矩形で、fig2のように一方の曲線を切り出します。 上図の場合、一本の曲線が切り出されていますが、場合によっては複数本の曲線が切り出されることになります。 次に、切り出した曲線について同じように矩形を求めて、他方の曲線を切り出すわけです。 この、曲線の矩形化・曲線切り出しの処理を繰り返すと、最終的に矩

自分で考案した任意多角形の面積，重心 (図心)，断面モーメント，慣性モーメント計算の公式集 PDF ファイル および Excel ファイルを，DLmarket 様にて委託ダウンロード販売しています． (各 \514，セット割引 \771)． 任意多角形の重心 (図心) および１次以上のモーメントの公式の無料公開は終了しました． 現在は面積の公式のみ公開しています． 表示確認ブラウザ：FireFox 3.6.10，IE8 注意：画像表示を ON にしないと，図と数式が表示されません． 本家：http://www5d.biglobe.ne.jp/~noocyte/Programming/Geometry/PolygonMoment-jp.html Mirror：http://www.geocities.jp/iafuu/Programming/Geometry/PolygonMoment-jp

ホーム＜ゲームつくろー！＜衝突判定編 2D衝突編 その８ 4分木空間分割を最適化する！（理屈編） ゲーム空間に置いたオブジェクトを総当りで衝突判定する事ははっきりと非効率だと言えます。ちょっと計算してみましょう。60FPSのゲームの1フリップ約16.6ミリ秒の内衝突判定に10%の時間余裕（1.66ミリ秒）を与えられたとします。もし1000回の衝突判定に1ミリ秒かかるなら（1000回/msec）、判定回数は1660回以下に抑えないと間に合いません。総当りだとこれは58オブジェクトくらいで限界です。判定時間が200回/msecならオブジェクトはたった18個で限界。これはどう考えても節約が無いとゲームになりません。 オブジェクトの全ての位置が決まった時、自分とぶつかる可能性があるのは自分の周りのオブジェクトだけです。遠い所にある物は判定する必要すらありません。そこで「空間をある程度制限してその中

このあとの解説ではベクトルと行列がふんだんに出てきますので、それらの基礎知識を解説しておきます。 幾何学にベクトルと行列を持ちこむメリットは、何次元空間の問題でも同様の手法で解くことができることです。ここでは主に３次元空間の話として解説しますが、特にことわらない限り他の次元にも同じ解法が適用できます。 行列を使う目的は式を簡単に書き表すことです。この段階では、それ以上深い意味はありませんので、書き表し方のルールを覚えれば、基礎はおしまいです。

ホーム＜ゲームつくろー！＜衝突判定編＜内積と外積の使い方 基礎の基礎編 その１　内積と外積の使い方 この章では3Dゲームの特に衝突判定に無くてはならない「内積・外積」というベクトルの基本的な演算についてお話します。内積は高校で、外積はたぶん大学で習います。そのきちんとした意味を理解するのは大切ですが、ゲームで使う上では性質を体得する方が近道かと思います。そのためにはイメージが大切です。 この章ではゲームで使用するベクトルの内積や外積をイメージと一緒に見ていこうと思います。 ① 方向と大きさを表せる「ベクトル」 この記事をご覧になっている方の多くはきっと高校生以上だと思います（そうでない方は賞賛に値します！立派なプログラマーになれますよ(^-^)）。高校の頃には必ず「ベクトル（vector）」を習います。ベクトルは「方向と大きさを表す方法」です。下の図をご覧下さい： 見た目平面ですが、ゲーム

トップ 概要 解説 オ ンライン視聴 謝辞 連絡先 Français / Português / Español / русский< / 简 体中文 / English / Nederlands / العربية ビデオの各章の内容の説明 （画像をクリックしてください） 第１章 第２章 第３章，第４章 第５章，第６章 第７章，第８章 第９章

行列を用いた回転 点Q ( X,Y ) は 点P ( x,y ) を β 回転させたものである． 点Pの座標の x ， yを r と α で表わすと， x=rcosα y=rsinα     ・・・・・・ (1) 点Qの座標の X ， Yを r と α， β で表わすと， X=rcos( α+β ) Y=rsin( α+β ) 加法定理を用いると， X=r( cosαcosβ−sinαsinβ ) Y=r( sinαcosβ+cosαsinβ ) となる．(1) を代入すると， X=xcosβ−ysinβ Y=xsinβ+ycosβ となる．この関係を行列を用いて表わすと， ( X Y )=( cosβ −sinβ sinβ cosβ )( x y ) となる． 行列  ( cosβ −sinβ sinβ cosβ )  を回転行列といい， R θ で表す． ホーム>>カテゴリー分類>>行

Platform: All Version: MX and above 直線は、直交座標のグラフに、一次関数として表すことができます。本稿では、この一次関数(方程式)を導くポイントをご紹介します[*1]。 1. 直線を式で表す 直線は、xyの直交座標に、xのyに対する一次関数として、つぎのように表されます(図001)[*2]。 y = mx + n 図001■直線の一次関数 y切片がn、傾きmの一次関数 上記の一次関数y = mx + nで、xが0のときyはnになります。つまり、y軸(x = 0)と値nの点で直線が交わります。この点を「y切片」といいます。yの値はxの値に比例し、m倍の割合で変化します。mは「yの値の変化/xの値の変化」で計算され、xの値が1増加したときyの値はm増加することを意味します。このmは直線の傾き具合を表すので、「傾き」と呼ばれます。 [*2] y = mx +

★このページの対象読者 三次元での回転を、ＣＧとかで定量的に取り扱いたい人 オイラー角(Euler Angles)を使っていたら、わけがわからなくなってきた人 カルダン角とオイラー角(Cardan Angles)の見分けが付かない人 ジンバルロックに困っている人 だけど、数学とかメンドクサイことが嫌いな人 サンプルプログラムが欲しい人 ★回転篇：　四元数（しげんすう, quaternion）を使った回転の取り扱い手順だけ説明します （１）四元数の実部と虚部と書き方 四元数とは、４つの実数を組み合わせたものです。 ４つの要素のうち、ひとつは実部、残り３つは虚部です。 たとえば、Qという四元数が、実部 t で虚部が x, y, z から成り立っているとき、下のように書きます。 また、V = (x, y, z)というベクトルを使って、 Q = (t; V) とも書くことがあります。 正統的

実数は直線上の一点を，虚数は平面上の一点を表すものです． しかし，残念ながら3次元以上の一点を表すような数を美しく定義することは出来ません． それでも，乗法の交換則を犠牲にすればなんとか四元数というものを定義することが出来ます． 高校や大学でも四元数の話を少し習うかもしれませんが， 物理学で実際に四元数をどのように応用できるかというと，勉強する機会はあまり多くないかもしれません． 実は，四元数を使うと剛体の回転が美しく記述できるのです． 剛体の回転運動や，結晶構造の解析などに役立ちますし， 実際にスペースシャトルの姿勢を制御する計算にも四元数が使われています． 四元数の基礎 あまり数学的な内容には立ち入らずに，必要事項だけを簡単に書きます． （興味のある人はもっと詳しい本を読んでみてください．） 四元数の生い立ち 四元数はアイルランドの数学者ハミルトン( )によって考案されました． 年 月