非心分布が平均が$0$の正規変量について定義された分布と異なるのは平均であり，分散は興味の対象外です。分布の中心が平均という捉え方をすると「非(中)心」分布の興味の対象が平均であることを理解しやすいでしょう。 具体例 非心分布の具体例としては，非心$t$分布，非心カイ二乗分布，非心$F$分布をおさえておきましょう。 非心$t$分布 $U\sim\N(\lambda,1)$と$V\sim\chi^{2}(n)$に対して$T{=}U/\sqrt{V/n}$が従う分布を自由度$n$，非心度$\lambda$の非心$t$分布といい，$t(n,\lambda)$と表す。確率密度関数は， \begin{align} f(t) &= \cfrac{e^{-\lambda^{2}/2}}{\sqrt{\pi n}\Gamma\left(\cfrac{n}{2}\right)} \sum_{i=0}^{\i

確率変数が与えられたとき，取りうる値の対応する事象を列挙して確率を求めるのは面倒ですし， 一般に，確率変数の数値がどのように生成されたのか，すなわち，それぞれの数値にどの事象が対応しているのかにはあまり興味がありません．代わりに，数値と確率の対応関係に注目します．確率変数の数値に対して確率を対応させる関数を確率分布と言います．例えば，サイコロの出目 X と，2 つのサイコロの出目の和 X+Y の確率分布は下図のようになります． サイコロの例では確率変数の取る値が離散的でしたが，連続値を取る確率変数を考えることもできます．離散型の確率変数では各値に確率が対応しますが，連続型の確率変数では各値に確率密度が対応します（後述）． 確率分布 本章では，連続型の確率変数を想定して理論説明を行ないます 確率変数に対応する確率の見方として，確率密度関数 (Probability Density Funct

人間は最初みんな資産を CCC だけ持っている。人生のとあるイベント iii によって資産は eYie^{Y_i}eYi​ 倍される。ただし YiY_iYi​ は確率変数である。 イベント 111 から nnn まで起こった後の資産は CeY1+Y2+⋯+YnCe^{Y_1+Y_2+\cdots +Y_n}CeY1​+Y2​+⋯+Yn​ である。 各 YiY_iYi​ がどのような分布に従うかは分からないが（長い時間経過したとき資産が減る人も増える人も同じくらいいるだろうということで）Y1+Y2+⋯+YnY_1+Y_2+\cdots +Y_nY1​+Y2​+⋯+Yn​ の期待値は 000 と考える。 よって中心極限定理より，nnn がそれなりに大きければ Y=Y1+Y2+⋯+YnY=Y_1+Y_2+\cdots +Y_nY=Y1​+Y2​+⋯+Yn​ は正規分布に従うと考えられる。つまり，

統計モデリングの入門本としてよく用いられる有名な『データ解析のための統計モデリング入門』は統計的なモデリングについて学ぶ際に、GLMやMCMCの概要を掴む上では良い本です。 ですが、一度読んで概要を掴むにはわかりやすい一方で、記述が厳密でない点が多く後から読み返すと違和感が多かったり体系的ににまとまっておらず該当箇所を探しにくいというデメリットがあります。 ですので、入門用として大枠の概要と用語を覚える目的で使用する方が良いのではと思います。 一読して流れをつかんだ後は、 ・一般化線形モデル入門 ・PRML上巻 などが良いと思います。 とはいえ、上記の本はハードル高いかもしれないので今から勉強される方向けに軽く概要をかいつまんでブリーフィングしておければと思います。 #1では回帰分析の拡張であるGLM(Generalized Linear Model)について取り扱います。 以下目次になり

Pythonによるランダムウォークのメモです。ちょっと数式書いてますけど、数学的には厳密ではありませんので悪しからず。 単純ランダムウォーク 時刻$n$における価格$p(n)$を、 $$p(n) = p(n-1) + d(n)$$ のように１サンプル前の価格$p(n-1)$に$d(n)$(ただし、$d(n)$は$1$か$-1$)を加えて算出していく時系列を単純ランダムウォークといいます。 まず、$d(n)$はPythonで次のように書けます。 %matplotlib inline import numpy as np import pandas as pd dn = np.random.randint(2, size=1000)*2-1

この記事は，Open and Reproducible Science Advent Calendar 2020およびベイズ塾 Advent Calendar 2020の10日目の記事です。この記事では，ベイズ統計学と再現性に関わる次のようなケースについて考えてみます。 研究者のAさんは，ある実験操作をしたときとしなかったときで変数Vの平均値に差が生じるかどうかを調べるために，60名の実験参加者を30名ずつ無作為に統制群と実験群に割り当てて実験データを取得しました。変数Vの平均値を計算してみたところ，統制群は-0.028，実験群は0.348であったので，実験操作によって変数Vの平均値が数値的には増加しているように見えます(図1)。 図1. Aさんが収集したデータ。黒い横線は各群の平均値。 ところが，この変数VについてWelchのt検定 (両側検定，α = .05) を行ったところp = .

検定における第1種の過誤，第2種の過誤を実際に計算してみる。 問題図解しやすい題材を通して，第1種の過誤と第2種の過誤の関係を実感する。 説明参考： 解答まずは具体的に計算してみる。 この状況を図で示してみる。青線が帰無仮説における分布，橙線が対立仮説における分布である。 from scipy.stats import norm import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-4, 4, 100) y0 = norm.pdf(x) y1 = norm.pdf(x-1) plt.plot(x,y0) plt.plot(x,y1) ここで，αエラーは帰無仮説の元で帰無仮説を棄却する確率（青），βエラーは対立仮説の元で帰無仮説を棄却しない確率（橙）である。 この図から，x0を大きくすればαエラーは小さくなるが

Deleted articles cannot be recovered. Draft of this article would be also deleted. Are you sure you want to delete this article? こんにちは、@richwomanbtcです！ 仮想通貨botter Advent Calender 2021の22日目の記事です。 この記事に関して質問、誤りのご指摘等ありましたらぜひコメントお願いします！ また、この記事の内容に参考にしてトレード等を行い損害が発生したとしても責任は負いかねます。ご了承ください。 今回は破産確率について、私なりに実験してみたまとめてみた結果を載せたいと思います。(実験する時間がなかったのでまとめただけになりました。ごめんなさい。いつか必ず追記します) よくweb上の記事に「バルサラの破産確率」の図が出回

先日、デスマーチの末なんとか機械学習案件のリリースに漕ぎ着けました。 今回の案件に関わらないですが、要件や仕様はしっかり明文化しておくべきですね。 後から(特にリリース間近になって)言った言わないの議論になるのは双方にとってあまり気持ちのいいものではありません。 些細な仕様変更のため口頭で合意した内容でも、しっかりと資料化しておくことの重要さを再認識しました。 さて、今回はマルチコ（多重共線性）について投稿します。 クライアント先で多変量解析をしているときにこの話題が出たので、いろいろと調べてみました。 大学では統計学視点でのマルチコを若干勉強したのですが、この機会に再度勉強し直してみたのでまとめます。 マルチコ（多重共線性）とはマルチコとは、重回帰モデルにおいて説明変数間に強い相関がある事象のことをいいます。 マルチコはmulti-colinearlity（マルチ-コリニアリティ）の略称

前回の記事では相関がある $2$ つの擬似乱数を生成しました。しかし、色々やっていくうちにやっぱり相関がある乱数が $n$ 個ほしくなったので、その生成法を説明します。 今回はいきなり $n$ 個の乱数を作る話から入るので、前回の記事をまず読んでいただいたほうがスムーズかと思います。 追記：単に相関がある乱数を作りたい、バックグラウンドには興味ないという方は numpy.random.multivariate_normal を使えば大丈夫です。 概要 $n$ 個のデータ系列があったとき、 $i$ 番目と $j$ 番目の相関係数を $ij$ 成分においた対称行列を1、 相関行列 といいます。この相関行列をインプットとして、与えられた相関を満たすような $n$ 個の乱数を生成する方法を考えます。 平均がゼロで分散が等しい独立な乱数を $n$ 個用意して、それをベクトルでまとめて $X = (X

こんにちは！若葉のマフィンです！ 今回の記事では、前回の記事 wakaba-mafin.hatenablog.com の続きでダウンロードした日経平均のデータの性質を詳しく見ていきたいと思います！ はじめに 準備 日経平均の分布 ヒストグラム 分布のフィッティング 裾の厚い分布？ まとめ はじめに まず、株価などの経済のデータはランダムに変動しているとみなすことができるということが知られています。そして株価などの分布に対してOsborne, "Brownian Motion in the Stock Market," 1954などの研究により「対数正規分布」と呼ばれる確率分布を仮定して解析を進めていくことが１つの理論として確立しているようです。 ここで「対数正規分布」とはその名が示す通り、確率変数の対数をとれば正規分布（身長などが従う分布）に従う分布で、確率密度関数は と表されます（なんか

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