线性代数

线性公式

给定两点A(0,0)与B($x_{o},y_{o}$)可以确定一条直线，该直线的斜率为：

$m={\frac {y_{o}}{x_{o}}}$

因此

$y_{o}=mx_{o}$

对于在此条直线上的点C($x,y$)，可得斜率m

$m={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$

$y=y_{o}+m(x-x_{o})$

线性方程

通用的形式为

$Ax=0$	$x=0$
$Ax=C$	$x={\frac {C}{A}}$
$Ax+B=C$	$x={\frac {C-B}{A}}$
$Ax+By=C$	$x={\frac {C}{A}}$ （当 $y=0$ 时） $y={\frac {C}{B}}$ （当 $x=0$ 时）

线性方程组

例子

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

线性方程组的根

变量消去

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

将第一行乘2，并加到第二行

$4x+2y=22\,$

$-4x+3y=13\,$

可得

$5y=35\,$ => $y=7$

将第一行乘3，并加到第二行

$-6x-3y=-33\,$

$-4x+3y=13\,$

可得

$-10x=-20\,$ => $x=2$

替换

如果你看到一个像这样的线性方程组

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

你可以将第一行通过移项得到

$y=-2x+11\,$

之后，你可以替换这一项到第二行，从而可得

$-4x+3(-2x+11)=13\,$

$-4x-6x+33=13\,$

$-10x+33=13\,$

$-10x=-20\,$

$x=2\,$

之后，你可以将 x = 2 代替到原方程组中的任一个方程，从而解得 y = 7。通常，当原方程组中有一项单独的y时，使用这个方法更加简单。

行列式

如果你看到了一个像这样的方程组

$2x+y=11\,$

$-4x+3y=13\,$

用y来解

$x+{\frac {1}{2}}y={\frac {11}{2}}\,$

$x+{\frac {3}{-4}}y={\frac {13}{-4}}\,$

$y({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}})={\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}$

$y={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}$

用x来解

$2x+y=11\,$

${\frac {-4}{3}}x+y={\frac {13}{3}}\,$

$x(2-{\frac {-4}{3}})=11-{\frac {13}{3}}$

$x={\frac {{\frac {11}{2}}-{\frac {13}{-4}}}{{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{4}}}}$

线性方程组的通解

$A_{1}x+B_{1}y=C_{1}$

$A_{2}x+B_{2}y=C_{2}$

消去变量x

$x+{\frac {B_{1}}{A_{1}}}y={\frac {C_{1}}{A_{1}}}$

$x+{\frac {B_{2}}{A_{2}}}y={\frac {C_{2}}{A_{2}}}$

二式相减

$y({\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}})={\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}$

用y来解

$y={\frac {{\frac {C_{1}}{A_{1}}}-{\frac {C_{2}}{A_{2}}}}{{\frac {B_{1}}{A_{1}}}-{\frac {B_{2}}{A_{2}}}}}$

消去变量y

${\frac {A_{1}}{B_{1}}}x+y={\frac {C_{1}}{B_{1}}}$

${\frac {A_{2}}{B_{2}}}x+y={\frac {C_{2}}{B_{2}}}$

二式相减

$x({\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}})={\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}$

用x来解

$x={\frac {{\frac {C_{1}}{B_{1}}}-{\frac {C_{2}}{B_{2}}}}{{\frac {A_{1}}{B_{1}}}-{\frac {A_{2}}{B_{2}}}}}$

参考

• 矩阵
• 维基百科：线性代数
• 维基教科书：线性代数

外部链接

• OER Matrices content at Wikieducator
• https://www.bilibili.com/video/av15463995 麻省理工学院 18.06 线性代数, 2005春季 - 视频教程，中英字幕 Bilibili]
• https://github.com/apachecn/math/ 麻省理工学院 线性代数课程笔记
• Khan Academy Linear Algebra videos
• Interactive online programs and Linear Algebra tutorial