線叢

數學中，線叢（line bundle）表達了空間中在點之間變化的直線的概念。例如，平面中的曲線在每一點都有一條切線，這就確定了一條變化的直線：切叢是組織它們的一種方式。代數拓撲和微分拓撲中，線叢更正式的定義是秩為1的向量叢。^[1]

為空間中的每一點連續地選擇一個1維向量空間，便確定了線叢。在拓撲學的應用中，這個向量空間通常是實或復的，而由於實向量空間與復向量空間的拓撲性質不同，兩種選擇將表現出根本上不同的行為：剔去實數線上的原點，就得到可逆1階實方陣的集合。將正負實數分別收縮為一點，便可見它同倫等價於離散兩點空間；而剔去複平面上的原點，就得到可逆1階復矩陣的集合，與圓同倫等價。

因此從同倫論的角度看，實線叢的行為與具有兩點纖維（two-point fiber）的纖維叢（即雙覆蓋）基本相同。微分流形的有向雙覆蓋是特例，對應的線叢是切叢的行列式叢（下詳）。莫比烏斯帶對應圓的雙覆蓋（θ → 2θ映射），改變纖維也可將其視作具有兩點纖維、作為纖維的單位區間或實數線。複線叢與圓叢密切相關。有些著名的複線叢，如球面到球面的霍普夫纖維化。

代數幾何中，可逆層（即秩為1的局部自由層）常稱作線叢。

線叢由滿足以下條件的除子產生：

(I) X是既約不可約概形，則每個線叢都來自一個除子

(II) X是射影概形，則同樣成立

射影空間上的重言線叢

代數幾何中最重要的線叢之一是射影空間上的重言線叢。域k上向量空間V的射影化 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 定義為對乘法群 $k^{\times }$ 作用的商 $V\setminus \{0\}$ ，因此 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 的每一點都對應一份 $k^{\times }$ ，可以構成 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 上的 $k^{\times }$ -叢。 $k^{\times }$ 與k只差一個點，將該點與每條纖維鄰接（adjoin），就得到了 ${\boldsymbol {P}}(V)$ 上的線叢，稱作重言線叢（tautological line bundle），有時記作 ${\mathcal {O}}(-1)$ ，因為它對應於塞雷扭轉層 ${\mathcal {O}}(1)$ 的對偶。

映射到射影空間

設X是空間，L是X上的線叢。L的全局截面是函數 $s:\ X\to L$ ，使得若 $p:\ L\to X$ 是自然射影，則 $ps={\rm {id}}_{X}$ 。在X中L為平凡的小鄰域U內，線叢的總空間是U與底域k的積，截面s限制到函數 $U\to k$ 。而s的值取決於平凡化的選擇，因此它們只取決於無處為0函數的乘法。全局截面以如下方式確定到射影空間的映射：在L的某纖維中擇 $r+1$ 個不全為0的點，就能選擇出 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 上重言線叢的纖維，因此選擇L的 $r+1$ 個不同時為0的全局截面，就確定了X到射影空間 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 的映射。這個映射將L的纖維發送到重言叢的對偶的纖維。更具體地說，假設L的全局截面是 $s_{0},\ \dots ,\ s_{r}$ ，則在X的小鄰域U內，這些截面確定了U上的k值函數，具體取值取決於平凡化的選擇。不過，它們取決於同非零函數的同時乘法，因此其比是良定義的。也就是說，點x上的值 $s_{0}(x),\ \dots ,\ s_{r}(x)$ 不是良定義的，因為平凡化的改變會使它們各自乘一個非零常數λ；而只要截面 $s_{0},\ \dots ,\ s_{r}$ 不在x同時取0，就會使它們乘以同一個常數，於是齊次坐標>math>s_0(x):\ \dots\ :s_r(x)]</math>良定義。因此，若截面不同時為0，則它們確定的形式 $[s_{0}:\ \dots \ :s_{r}]$ 就給出X到 ${\boldsymbol {P}}^{r}$ 的映射，映射下重言叢的對偶的拉回是L。這樣，射影空間就獲得了一個泛性質。

確定到射影空間的映射，通用方法是映射到L所有截面的向量空間的射影化。拓撲情形中，每點都有不為0的截面，可用在小鄰域之外為0的衝擊函數（bump function）構造，這樣得到的映射是處處定義的。然而到達域通常太大，沒什麼用。代數和全純集情形則恰好相反：全局截面的空間通常是有限維的，但點上可能不存在任何非零全局截面（如此例中構造了一個萊夫謝茨鉛筆）。事實上，叢有可能完全沒有非零全局截面，如重言線叢。線叢足夠豐沛時，這構造就驗證了小平嵌入定理。

行列式叢

一般來說，若V是空間X上的向量叢、纖維維數恆為n，則V的n次纖維-纖維外冪是線叢，稱作行列式線叢（determinant line bundle）。這種構造尤其適用於光滑流形的餘切叢，得到的行列式叢是張量密度現象的根源，因為對有向流形，其有非零的全局截面，且張量冪的任意實指數都可定義，並通過張量積「扭曲」任意向量叢。

同樣的構造（取頂級外冪）適用於諾特域上的有限生成射影模M，由此得到的可逆模稱作M的行列式模。

示性類、萬有叢與分類空間

第一施蒂費爾–惠特尼類分類了光滑實線叢。特別地，實線叢的（等價類的）集合對應於第一上同調的係數為 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 的元素。這種對應關係實際上是阿貝爾群同構（群運算是線叢的張量積與上同調上的普通加法）。類似，第一陳類分類了空間上的光滑複線叢，線叢群同構於係數為整數的第二上同調類。然而，叢可以有等價的光滑結構（於是有相同的第一陳類），而具有不同的全純結構。利用流形上層的指數序列，可以很容易地證明陳類的陳述。

可以從同倫論角度更普遍地看待分類問題。實線叢和複線叢都有萬有叢（universal bundle），根據分類空間的一般理論，啟發式方法是尋找可收縮空間，其上各自的群 $C_{2}$ 、 $S^{1}$ 的群作用是自由作用。這些空間可作為萬有主叢，作用的商則可作為分類空間BG。這些情形下，可在實、復射影空間的無限維類似空間中明確地找到這些空間。因此，分類空間 $BC_{2}$ 屬於 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 的同倫類， ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 是由齊次坐標的無限序列給出的實射影空間，攜帶著萬有實線叢；從同倫論角度看，這意味著CW復形X上的任何實線叢L都確定了X到 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 的分類映射，使L同構於萬有叢的拉回。這一分類映射可用於從 ${\boldsymbol {RP}}^{\infty }$ 上的標準類定義X的係數屬於 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 的第一上同調中L的施蒂費爾–惠特尼類。