八次方程式

八次函數的圖，有8個實數根（穿過X軸）和7個臨界點。一般來說，取決於局部極值的數量和垂直位置，實數根的數量可以是8,6,4,2或0。複數根的數量等於8減去實數根的數量 。

八次方程式是可以用下式表示的方程式

$ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0,\,$

其中a ≠ 0。

而八次函數是可以用下式表示的函數：

$f(x)=ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k,$

換句話說，八次函數也就是次數為8次的多項式，若a = 0，則多項式最多只為是七次函數。

若令八次函數f(x) = 0，即可得到八次方程式。

八次方程式的係數a, b, c, d, e, f, g, h, k可以是整數、有理數、複數或是任何一種域的元素。

由於一個八次函數是由偶數多項式定義，當變元往正值或負值無窮時，它擁有一樣的無窮的極限。如果首項係數a是正值，那麼函數在兩邊增加到正無窮大；因此該函數具有全域極小值。同樣地，如果a是負值，八次函數減少到負無窮大和具有全域極大值。八次函數的導數是七次函數。

八次方程式求根

透過阿貝爾-魯菲尼定理，就其參數而言沒有一般的代數式能解八次方程式。然而，一些八次方的子類(sub-classes)有這樣的公式。

普通的，具有正值k的形式的八次方程式

$x^{8}=k$

具有解

$x_{i}=k^{1/8}\omega _{i}\,,\quad i=1,\dots ,8,$

其中$\omega _{i}$是在複數平面中第i個1的8次方根。

可以通過因式分解或在變量x⁴中

$ax^{8}+ex^{4}+k=0$

應用二次方程式來求解形式的八次方程式。

$x^{4}=y$

得出$ay^{2}+ey+k=0$

$y_{1,2}={{-e\pm {\sqrt {e^{2}-4ak}}} \over {2a}}\,\!$

$x_{1,2,3,4}={\sqrt[{4}]{y_{1}}}$

$x_{5,6,7,8}={\sqrt[{4}]{y_{2}}}$

可以使用變量x²中的四次方程式

$ax^{8}+cx^{6}+ex^{4}+gx^{2}+k=0$

令$x^{2}=y$得出四次方程式

$ay^{4}+cy^{3}+ey^{2}+gy+k=0$

得出$y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {y_{1}}}$

$x_{3,4}=\pm {\sqrt {y_{2}}}$

$x_{5,6}=\pm {\sqrt {y_{3}}}$

$x_{7,8}=\pm {\sqrt {y_{4}}}$

應用

在某些情況下（如通過垂直線劃分成四個相等面積的區域），一個三角形的垂直線的四分之一部分是一個八次方程式的解。

參見

• 三次方程式
• 四次方程式
• 五次方程式