投射模

在交換代數中，一個環 $R$ 上的投射模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，投射模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，投射模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的投射對象。

投射模首見於昂利·嘉當與塞繆爾·艾倫伯格的重要著作 Homological Algebra，由此定義的投射分解是同調代數的基本概念之一。

定義

此節給出投射模的兩種等價定義。

自由模的直和項

投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 $P$ 是投射模，若且唯若存在另一個模 $Q$ 使得 $F:=P\oplus Q$ 是自由模。此時 $P$ 是 $F$ 的一個投影態射的項。

提昇性質

較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 $P$ 是投射模，若且唯若對任何模滿射 $f:N\twoheadrightarrow M$ 及模態射 $g:P\rightarrow M$，存在模態射 $h:P\rightarrow N$ 使得 $f\circ h=g$（請留意：在此不要求唯一性）。用交換圖表現則更明瞭：

此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇，從而引至投射對象的概念，在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模。

另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下：模 $P$ 是投射模，若且唯若任何正合序列

$0\longrightarrow M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$

都誘導出正合序列

$0\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M')\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} (P,M'')\longrightarrow 0$

換言之，$\mathrm {Hom} (P,-)$ 是正合函子；實則對任何模 $M$，函子 $\mathrm {Hom} (M,-)$ 總是左正合的，而投射性相當於右正合性。由此立刻得到投射模的同調刻劃：$P$ 是投射模若且唯若

$\forall i>0,\;\mathrm {Ext} ^{i}(P,-)=0$

向量叢與局部自由模

投射模理論的想法之一是向量叢的類比，對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環，或緊光滑流形上的光滑函數，此類比有嚴格的表述，詳閱條目Swan 定理。

向量叢是局部自由的；只要環上有合適的局部化概念，例如對環的一個積性子集局部化，則可以定義局部自由模。對於諾特環上的有限生成模，其投射性等價於局部自由性。對於非諾特環，則存有局部自由但非投射模的例子。

性質

• 投射模的直和與直和項仍是投射模。
• 若 $e=e^{2}\in R$，則 $Re$ 是個投射左 $R$-模。
• 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的環稱作左繼承的。
• 一個環上的全體有限生成投射模構成一個正合範疇（亦見代數K-理論）。
• 域或除環上的向量空間是自由模，因而是投射模。使所有模為投射模的環稱為半單環。
• 將阿貝爾群視為 $\mathbb {Z}$-模；則投射模對應於自由阿貝爾群。一般而言，此性質對主理想域也成立。
• 投射模皆為平坦模，反之不然，例如 $\mathbb {Q}$ 是平坦 $\mathbb {Z}$-模，但是非投射。
• 關於「局部自由＝投射」的想法，Kaplansky 證出如下定理：局部環上的投射模皆為自由模。有限生成投射模的情形容易證明，一般情形則較困難。

塞爾問題

Quillen-Suslin定理是另一個深入的結果：它斷言若 $R$ 是域或主理想域，而 $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 是其上的多項式環，則任何投射 $R$-模都是自由模。

此問題在域的情形由塞爾首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形，Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X