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哈瑟原则

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数学里,赫尔姆特·哈瑟局部-全域原则,或称为哈瑟原则,是一个表示“一个方程可以在有理数上被解若且唯若它可以在实数上‘及’在每个质数pp进数上被解”的原则。

表示0的型

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二次型

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哈瑟-闵可夫斯基定理描述著局部-全域原则会由在有理数上之二次型来表示0的问题中成立(由闵可夫斯基证出);且更一般性地,会在任何一个数域上成立(由哈瑟证出),其中使用了所有合适的局部域的必要条件。循环扩张上的哈瑟定理描述著局部-全域原则可以应用在数域循环扩张之一个相对赋范的条件下。

三次型

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恩斯特·赛尔玛提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以扩伸至三次型,如三次型可以在p进数上表示0,但不能在Q上表示。[1]

罗杰·希思布朗[2]证明每个在整数上至少有14个变数的三次型可以表示0,改进了由哈罗德·达芬波特所证明出的早期成果[3]。因此局部-全域原则当然地会在有理数上至少有14个变数的三次型上成立。

若将其限定在无奇点的类型上,即可以得到更好的结果:希思布朗证明每个在有理数上至少有10个变数之无奇点的三次型都可表示0[4],因此可以当然地建立起在此一类型上的哈瑟原则。可知在最有可能的义意下,可知会存在一个不会表示零的9个变数之于有理数上的无奇点三次型。[5]无论如何,荷利证明出了哈瑟原则会在由在有理数上至少9个变数之无奇点三次型来表示0的条件下成立。[6]达芬波特、希思布朗和荷利在他们的证明中都是使用哈代-勒特伍德圆法。根据马宁的想法,哈瑟原则在三次型中成立的障碍是被挷在布劳尔群的理论之中;而现在只表现出此一设定还不是个完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

更高次型

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藤原正彦Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以延伸至次型,其中的是一个非负整数。[7]

在另一方面,柏区定理证明出若d是一个奇数,则存在一个 N(d),使任何有多于 N(d) 个变数的 d 次型皆能表示 0:哈瑟原则在此当然地成立。

另见

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参考文献

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  1. ^ Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax3+by3+cz3=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)
  2. ^ 存档副本 (PDF). [2007-01-01]. (原始内容存档 (PDF)于2007-02-21). 
  3. ^ H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)
  4. ^ D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)
  5. ^ L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)
  6. ^ C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)
  7. ^ M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

外部链接

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