![微分不可能な最適化
目的関数の値しかわからない場合の最適化
2014年11月29日
TokyoWebMining #40
21
シンプレックス法 [Nelder+ 1965]
最適化する空間の次元より1つ多い多面体を使って最適化
4つの操作で、どんどん良い解を見つけていく。通称アメーバ法
2次元上の最適化なら、3点の目的関数値を計算して・・・
鏡映
拡張
収縮
縮小](https://image.slidesharecdn.com/random-141128225344-conversion-gate02/85/-21-320.jpg)
![（参考） 線形方程式解法としての共役勾配法
共役勾配法は元は線形方程式の解法として登場 [Hestenes+ 1952]
TokyoWebMining #40 32 2014年11月29日
を解きたい。
n次元正定値行列
を解くのと等価
共役勾配を使えば、反復解法なのに
有限回の反復で厳密解が求まることを発見
世界に激震が走ったらしい](https://image.slidesharecdn.com/random-141128225344-conversion-gate02/85/-32-320.jpg)
![SSII2021 [OS2-01] 転移学習の基礎：異なるタスクの知識を利用するための機械学習の方法](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/os2-02final-210610091211-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
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- 14. 適度に飛ばすので 気になる箇所は適宜質問 お願いします 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 14
- 15. 目次 １．最適化チートシート ２．連続最適化 ２－１．制約なし ２－１－１. 微分情報なし ２－１－２. 微分情報あり ３．組合せ解法 ３－１. メタ解法 ３－２．混合整数計画法 ３－３．制約プログラミング 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 15
- 16. １．最適化チートシート 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 16 連続最適化 組合せ最適化 制約なし 制約あり 微分情報なし 微分情報あり 線形 非線形 線形 非線形 自前実装 対策 シンプレックス法 黄金分割法 ニュートン法 最急降下法 共役勾配法 準ニュートン法 線形計画法※ 有効制約法 逐次二次計画法※ 混合整数計画法※ ソルバ必須 メタ解法※ 近傍定義が必要 メタ解法※ 近傍定義が必要 制約プログラミング※ ソルバ必須 状況に応じて ソルバの 導入を推奨 独断と偏見による、最適化の種類と対策チートシート。基本的に自前実装は最終手段 ※はアルゴリズムでなくフレームワーク
- 17. １．最適化チートシート 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 17 連続最適化 組合せ最適化 制約なし 制約あり 微分情報なし 微分情報あり 線形 非線形 線形 非線形 自前実装 対策 シンプレックス法 黄金分割法 ニュートン法 最急降下法 共役勾配法 準ニュートン法 線形計画法※ 有効制約法 逐次二次計画法※ 混合整数計画法※ ☓ソルバ必須 メタ解法※ ◎近傍定義が必要 メタ解法※ ◎近傍定義が必要 制約プログラミング※ ☓ソルバ必須 状況に応じて ソルバの 導入を推奨 独断と偏見の最適化の種類と対策チートシート。基本的に自前実装は最終手段 ※はアルゴリズムでなくフレームワーク 実社会の最適化問題の9割が組合せ最適化 配送最適化 施設配置問題 スケジューリング …
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- 35. （参考） 線形方程式解法としての共役勾配法 Scipyにもたくさん実装されている。 （http://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/sparse.linalg.html#module-scipy.sparse.linalg） 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 35 Q: Aが正定値行列じゃないと解けないの？ A: Krylov部分空間法として一般化されている Q: 一般の最適化問題に共役勾配法使って良いの？ A： 良いが、もちろん有限回の反復で収束しません 直線探索も基本的に必要 Fletcher–Reeves法や Polak–Ribiere法などがあります
- 36. ヘッセ行列よ再び、準ニュートン法 それでもヘッセ行列への夢は捨てられない 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 36 準ニュートン法 反復を重ねながらヘッセ行列の逆行列を近似していく手法 ヘッセ行列の逆行列の仕方で、いくつかの派生が存在 •DFP法 •BFGS法（Scipyに実装） 収束が早い（超１次収束） 逆行列計算はないが、 n×n行列を保持する必要がある 利点 欠点
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- 65. 配送最適化の定式化 TokyoWebMining #40 65 2014年11月29日 次数制約１ 次数制約２ トラックの台数 部分巡回路除去制約 積載容量制約 数式乱舞。おかげ様で就職してもTex御用達
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- 69. 様々な問題を扱える混合整数計画法ですが、 定式化にはセンスと経験が必要 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 69
- 70. 参考となる定式化 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 70 そんなこと言っていても何も始まらないので 独断と偏見で、知っておくと応用範囲の広い定式化を紹介 配送最適化 次数制約など、ネットワーク上の定式化を理解出来る。 部分巡回路除去制約も時間の制約に拡張できる これが分かれば施設配置問題も楽勝 集合被覆問題 いろんなパーツを使って全体をカバーする感覚が需要 少し、工夫するとそのままシフトスケジューリングになる。
- 71. ソルバーについて 基本的に線形計画問題と同じ手続き 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 71 STEP1： 最適化モデリング言語を使ってモデル化 ※P.45参照 STEP2: 混合整数計画ソルバーに解いてもらう
- 72. ソルバーについて 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 72 GLPK GPLライセンスのソルバーため商用でも使い難く、最遅ソルバーの呼び声も高い。 ただし、導入の容易性、AMPLファイルが扱える、日本語の資料が豊富などの利点があり、 授業でも使われることも多く、一定の市民権を得ている CBC （CoinMP） Coin-ORというIBMのオペレーションズ・リサーチのオープンソースプロジェクトの一つ CPLライセンスのため商用利用できて、かつ速度もそこそこなので、よく用いられる 欠点としては、英語ですらドキュメントが皆無 SCIP 一応、無料ソルバーでは最速と言われている。 しかし、ZIB Academic Licenseという商用不可のライセンスのため、 使っているところはほとんど見ない。 アカデミックならGurobiもCPLEXもタダで使えるし・・・ 無料ソルバー
- 73. ソルバーについて 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 73 Gurobi 世界的にも最も使われているソルバー（と思われる。） 速度が速いのはもちろんのこと、 活発に開発が進んでおりバージョンが上がるたびに先進的な機能が追加されている。 いち早くPythonインターフェイスを導入して、最適化屋さんをC言語から救った功績も あり、様々な点で業界をリードしている。 CPLEX 元はGurobiの中の人達がやっていたILOG社の製品だったが、 IBMが買収してIBM CPLEXとなったソルバー 買収後の大幅値上げ、Pythonインターフェイス導入遅れ、Gurobiの台頭などにより 最近はほとんど話を聞かない 最適化≒CPLEXだった時代もあり、悪いソルバーではないのだが・・・ Xpress 使ったことないのでノーコメント 有料ソルバー
- 74. 最適化の実務的な注意点 出来るところのテストは徹底 - 最適化自体の単体テストは非常に難しい - 入力の集合や定数、変数数、制約数など出来る限りはテストする 初期解の算段をつけておく - MIPのみだと、妥当な計算時間で解を出さないことがある - 提案時にはわからないことが多いので、初期解を保険とする - 初期解をメタ解法、探索をMIPはよく行われる 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 74
- 75. 最適化の実務的な注意点 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 75 優秀なエンジニアを早めに味方につけておく - 最適化案件は上手く行けば行くほどツール化の話になります - 最適化は時間がかかるため、ジョブの管理や 『以前の解を保存→初期解として利用』など高度なことが要求されます - 設計だけでも相談しておくと、後々の大事故を防げます お客様は待ってくれない - 最適化屋さんは平気で１時間、１日単位の計算をするが、 お客様はボタン押したら結果がポンっと出てくると考えている - 想定１分、待って５分といったところ - 数時間が許される案件もあるが、 早めに認識を合わせて置かないと大事故につながる
- 76. 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 76 ３－３．制約プログラミング
- 77. 制約プログラミング（Constraint Programming： CP） 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 77 制約と変数の範囲を与えると、効率良く列挙するフレームワーク ソルバーが少ないのもあり利用例が少ないが、陽の目を見て欲しい手法 利点 欠点 ・ 変数の掛け算（非線形）、論理式制約なんでもゴザレ ・ 最適性の保証はないが、ライブラリによっては オプション一つでメタ解法を使えることもあり、かなり便利 ・ 基本的に変数の範囲を離散値で指定する必要がある ・ ソルバーが少ない
- 78. 制約プログラミング（Constraint Programming： CP） 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 78 IBM ILOG CP CPLEXと同じ元ILOG社の製品 使ったことないのでノーコメント 有償 Google CP Solver ILOG社がIBMに買収された時に、CPソルバーチームがGoogleに移籍して開発 使い勝手は結構良かったが、インストールに苦労した記憶がある 無償 SCOP HPがぐぐっても見つからない・・・久保先生に問い合わせる必要があるかも CPソルバー 混合整数計画と解く手続きはほぼ同じ（モデリング＋求解）
- 79. 快適な最適化ライフをお楽しみ下さい ご清聴ありがとうございました 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 79
- 80. 参考文献 1.久保幹雄 , 田村明久 , 松井知己. 『応用数理計画ハンドブック』. 朝倉書店. 2002 2.久保幹雄, J. P. ペドロソ, 村松正和, アブドル・レイス. 『あたらしい数理最適化』. 近代科学社. 2012 3.久保 幹雄, J. P. ペドロソ. 『メタヒューリスティクスの数理』. 共立出版 2009 4.柳浦 睦憲, 茨木 俊秀. 『組合せ最適化―メタ戦略を中心として』. 朝倉書店 2001 5.D. G. Luenberger, Y. Ye. 『Linear and Nonlinear Programming』. Springer. 2008 6.小島 政和, 笹島 和幸, 天谷 賢治, 福田 光浩. 『計算機支援数理』. http://www.ocw.titech.ac.jp/index.php?module=General&action=T0300& GakubuCD=226&GakkaCD=226715&KougiCD=75001&Nendo=2011&Gakki=2&lang=JA&vid=05 2014年11月29日 TokyoWebMining #40 80