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ラムダでウィザード 滅せよ手続き、とチャーチは言った (※言ってません)
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- 2. 自己紹介 id:bleis-tift / @bleis なごやではたらくゆるふわ.NETer 好きな関数型言語はF# Microsoft MVP for Visual F#
- 3. .NETの基礎ということで・・・ IL・・・？そんなこわいことこわい人がいっぱい 来ること確定な場所で話せません＞＜。 .NET と言えば F#ですよねー(異論は認める F#の基礎と言えばラムダ計算ですよねー (.NET 基礎ならなごやこわいは参加しないだ ろうし、これにしよう！) どうしてこうなった・・・
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- 10. ラムダ計算の文法 ラムダ計算のプログラムは一つの項 (式と思って もらえれば) として表されます 項の要素になれるのは、以下の3 つだけです 名前 ・・・・・・・・・・・変数 (項 項)・・・関数適用 (λ名前. 項)・・・ラムダ抽象 名前には、英字一文字を使うことが多いです。
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- 13. 文法のおさらい . ラムダ計算の文法 .. . t ::= <name > | (< t > < t >) | (λ < name > . < t >) 数値はおろか、真偽値などもない 変数が導入されるのはラムダ式の引数のみ 値はラムダ抽象 (つまり関数) のみ！
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- 15. ラムダ計算における計算 ラムダ計算における計算とは、引数に関数を適用 することです。 t1 t2 という項があった時に、t1がラムダ抽象だっ た場合に、ラムダ抽象の中の項に現れる引数を t2 で置き換えます。 . 例えばこんな .. . (λx.x) (λy.λz.(y z)) ↓下線を引いた項に引数を与えて簡約 λy.λz.(y z)
- 16. 簡約の方法 簡約の方法にはいろいろありますが、ここでは皆 さんになじみの深い方法を採用します。 t1 t2 という項があった時、 t1から先に簡約する t2 の簡約を終えてから、全体を簡約する という方法で、「値呼び戦略」と呼ばれます。
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- 20. カリー化関数 ラムダ計算では複数引数を受け取る関数はないの で、関数を返す関数をよく使います。 . カリー化関数 λx.λy.x にλa.a と λb.b を渡す .. . (λx.λy.x) (λa.a) (λb.b) −→ (λy.(λa.a)) (λb.b) −→ λa.a λx.(λy.x) 自体は関数を返す関数だけど、2 つの引 数をとる関数と同じような働きをする！
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- 23. 真偽値(2) 真が λtf.t、偽が λtf.fだったとして、 if cond then x else y を、cond x y とする cond に真を入れてみる ((λtf.t) x) y (λf.x) y x cond に偽を入れてみる ((λtf.f) x) y (λf.f) y y 真偽値として働いている！
- 24. 自然数 真偽値同様、関数で表現します。 . 自然数を表す関数 .. . ０：λsz.z １：λsz.s z ２：λsz.s (sz) ３：λsz.s (s (s z))) z に s を何回適用するかで自然数を表します。 指で数を数えるのに似てますね。
- 25. 次の数を求める関数 succ . succ 関数 .. .λn.λsz.s(n s z) 1. 自然数 n は λsz.t の形をしている 2. n に s と z を渡せば、t の部分が取り出せる 3. t にもう一回 s を適用すれば、次の数になる！
- 26. 足し算してみる . add 関数 .. .λmn.λsz.m s(n s z) 1. 自然数 m は λsz.s (s (. . . (s z) . . . )) の形を している (s は m 個) 2. 自然数 n は λsz.t の形をしている (t には n 個の s が含まれる) 3. 自然数 m の z 部分を n の t 部分に入れ替え れば、足し算ができる！
- 27. 2 + 3 1.(λmn.λsz.m s (n s z)) (λsz.s (s z)) (λsz.s (s (s z))) 2. (λn.λsz.(λsz.s (s z)) s (n s z)) (λsz.s (s (s z))) 3. λsz.(λsz.s (s z)) s ((λsz.s (s (s z))) s z) 4. λsz.(λz.s (s z)) ((λsz.s (s (s z))) s z) 5. λsz.(λz.s (s z)) ((λz.s (s (s z))) z) 6. λsz.(λz.s (s z)) ((s (s (s z)))) 7. λsz.(λz.s (s z)) (s (s (s z))) 8. λsz.(s (s (s (s (s z))))) s が 5 個あるので、2 + 3 できました！
- 28. 掛け算してみる . mul 関数 .. .λmn.λsz.m (ns) z 1. 自然数 n は λsz.s (s (. . . (s z) . . . )) の形をし ている (s は n 個) 2. 自然数 n に s だけ適用したものは、引数に s を n 回適用する関数になる 3. それを自然数 m の s として渡すので、s を n 回適用したものが m 個作られる 4. それに z を渡してあげれば、 m と n を掛け合わせた結果の自然数になる！
- 29. 2 × 3 1.(λmn.λsz.m (n s) z) (λsz.s (s z)) (λsz.s (s (s z))) 2. (λn.λsz.(λsz.s (s z)) (n s) z) (λsz.s (s (s z))) 3. λsz.(λsz.s (s z)) ((λsz.s (s (s z))) s) z 4. λsz.(λsz.s (s z)) (λz.s (s (s z))) z 5. λsz.(λz.(λz.s (s (s z))) ((λz.s (s (s z))) z)) z 6. λsz.(λz.(λz.s (s (s z))) (s (s (s z)))) z 7. λsz.(λz.(s (s (s (s (s (s z))))))) z 8. λsz.(s (s (s (s (s (s z)))))) s が 6 個あるので、2 × 3 できました！
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- 33. 記法の拡張 2 + 3を計算するだけで、 . 2 + 3 .. .(λmn.λsz.m s (n s z)) (λsz. s (s z)) (λsz.s (s (s z)))) つらい・・・
- 34. 数値の導入 数詞 (0 とか1 とかそういうやつ) と関数で作った 自然数を対応付けることができる。 2 に対して λsz.s (s z)) を対応付けるようにすれ ば、人間にとってよりわかりやすい！ ついでに、+ も λmn.λsz.m s (n s z) に対応付け てしまえば、2 + 3 はそのまま、 . .2 + 3 と記述できる！ n に 2 を足す関数なら、 . .λn.n + 2 分かりやすい！
- 35. 真偽値の導入 ついでに真偽値も導入しましょう。 true と λtf.tを、false と λtf.f を対応付けます。 if-then-else も導入しましょう。 とりあえず、if cond then x else y を、cond x y に対応付けましょう。 . if-then-else を使った例 .. .λbmn.if b then m + n else m ∗ n b が真なら m + n を、偽なら m ∗ n を計算する 関数
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