Библиотека предоставляет инструменты для:

• Расчета доверительных интервалов для оценок и среднего значения.
• Сравнения интервалов, в том числе составных, с использованием различных метрик сходства.

Примеры работы приведены в examples/.

Модуль предоставляет функции для расчета доверительных интервалов для пропорций и среднего значения на основе списка оценок или количества каждой оценки.

Предполагается, что проводится модель испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$. В этом случае мы знаем явное выражение для дисперсии и можем корректно применять оба метода.

Вероятность считается с помощью нормировки каждой оценки на max_rating.

Основные функции:

• calculate_ci_from_ratings: Рассчитывает доверительные интервалы для среднего на основе списка оценок.
• calculate_ci_from_counts: Рассчитывает доверительные интервалы для среднего на основе гистограммы оценок.

Метод Вальда — это классический доверительный интервал, основанный на нормальном распределении.

$$\hat{p} \pm Z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$$

Здесь:

• $\hat{p}$ — выборочная вероятность успеха.
• $Z$ — квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий заданному уровню доверия (например, 1.96 для 95% доверительной вероятности).
• $n$ — размер выборки.

Недостаток метода Вальда в том, что он может дать ненадежные результаты, особенно на малых выборках или когда $p$ близка к краям интервала (0 или 1).

Метод Вильсона корректирует оценку по методу Вальда, улучшая точность на краях, близких к 0 или 1. Он более устойчив к крайним значениям и обеспечивает более точное покрытие.

$$\frac{ \hat{p} + \frac{Z^2}{2n} \pm Z \sqrt{ \frac{\hat{p}(1 - \hat{p}) + \frac{Z^2}{4n}}{n} } }{ 1 + \frac{Z^2}{n} }$$

Обозначения те же:

• $\hat{p}$ — выборочная вероятность успеха.
• $Z$ — квантиль стандартного нормального распределения, соответствующий заданному уровню доверия (например, 1.96 для 95% доверительной вероятности).
• $n$ — размер выборки.

Оценки по методу Вильсона не выходят за пределы $[0, 1]$ и служат более точной оценкой доверительных интервалов. Доверительный интервал здесь не всегда симметричный.

Модуль для работы с интервалами и вычисления метрик между ними.

Основные классы:

• Interval: Простой интервал с началом и концом.
• CompositeInterval: Составной интервал, состоящий из объединения нескольких простых.
• IntervalSimilarityMethod: Базовый класс для сравнения интервалов.
• SimilarityRegistry: Реестр алгоритмов сравнения интервалов.

Основные функции:

• calculate_similarity: Вычисляет сходство между двумя интервалами, используя заданный метод.
• calculate_similarity_matrix: Вычисляет матрицу сходства для каждой пары интервалов из списка.

• jaccard: Коэффициент Жаккара.
• overlap: Коэффициент перекрытия.
• hausdorff: Расстояние Хаусдорфа.

Формула:

$$ \text{Jaccard}(I_1, I_2) = \frac{|I_1 \cap I_2|}{|I_1 \cup I_2|} $$

где:

• $I_1$ и $I_2$ — два интервала,
• $|I_1 \cap I_2|$ — длина пересечения интервалов $I_1$ и $I_2$,
• $|I_1 \cup I_2|$ — длина объединения интервалов $I_1$ и $I_2$.

Логика:

Показывает долю пересечения двух интервалов относительно их объединения. Если пересечение пустое – равна 0. Равна 1 только если интервалы полностью совпадают.

Формула:

$$ \text{Overlap}(I_1, I_2) = \frac{|I_1 \cap I_2|}{\min(|I_1|, |I_2|)} $$

где:

• $|I_1 \cap I_2|$ — длина пересечения интервалов $I_1$ и $I_2$,
• $|I_1|$ и $|I_2|$ — длины интервалов $I_1$ и $I_2$, соответственно.

Логика:

Показывает долю пересечения двух интервалов относительно длины меньшего интервала. Равна 1, если один из интервалов подмножество другого или они совпадают. Равна 0, если интервалы не пересекаются.

Формула:

$$ \text{Hausdorff}(I_1, I_2) = 1 - \frac{d_{\min}(I_1, I_2)}{d_{\max}(I_1, I_2)} $$

где:

• $d_{\min}(I_1, I_2)$ — минимальное расстояние между точками интервала $I_1$ и точками интервала $I_2$,
• $d_{\max}(I_1, I_2)$ — максимальное расстояние между точками интервала $I_1$ и точками интервала $I_2$.

Логика:

Измеряет максимальное расстояние между точками двух интервалов. Нормализация позволяет сравнивать интервалы разной длины.

Если интервалы пересекаются хотя бы в одной точке – равна 1. Если не пересекаются, меняется от того как далеко разошлись границы.

Формула:

$$ \text{Mixed}(I_1, I_2) = \frac{1}{\sum w_i} \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot \text{Method}_i(I_1, I_2) $$

где:

• $n$ - количество методов, которые мы комбинируем
• $\text{Method}_i(I_1, I_2)$ - значение $i$-й метрики для интервалов $I_1$ и $I_2$ (например, Жаккара, Перекрытия или Хаусдорфа)
• $w_i$ - вес $i$-й метрики (должны быть неотрицательными и в сумме давать 1)

Логика:

Позволяет комбинировать несколько метрик с разными весами, чтобы получить более гибкую и точную оценку сходства. Сумма весов нормируется на единицу.

• Поддержка составных интервалов, состоящих из нескольких непересекающихся или перекрывающихся интервалов.
• Можно добавлять новые метрики (какие взбредут в голову, но вообще лучше сначала думать).