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COURSE

MATHEMATICS

数学

数学のコース一覧です

論理

LOGIC

論理は数学的思考の土台です。数学的な主張を正確に表現し、正確に理解し、その真偽を正しく判定するためには論理のルールを身につける必要があります。ここでは命題論理と述語論理について学びます。

前提知識

命題論理

命題論理の基本単位は「真または偽のどちらか一方であるような主張」であり、これを命題変数と呼びます。その上で、より複雑な主張を生成する操作を命題変数どうしを組み合わせる操作として定式化します。

述語論理

命題論理の基本単位が命題変数であったのに対し、述語論理では命題関数と呼ばれる概念が基本単位となります。それにより扱うことのできる言明の範囲が広がるとともに、量化と呼ばれる操作が可能になります。

論理

SET

集合論は、物や概念を「集合」としてまとめ、その性質や関係を論理的に分析する数学の基礎分野です。数学のあらゆる対象や構造を集合として定義し、厳密に議論するための共通言語を提供します。

前提知識

論理 100%

集合

集合論は数学の土台です。あらゆる数学的概念は集合を用いて記述できます。ここでは集合を定義した上で、集合演算とその性質について学び、さらには集合族や直積集合、関係などについて学びます。

写像

写像とは集合のそれぞれの要素に対して別の集合の要素を1つずつ定める規則のことです。関数を一般化した概念が写像です。

関係

複数の物事が互いに関わり合っている状態を「関係」と呼びますが、これは数学的には2つの集合の直積の部分集合として定義されます。関係や二項関係、同値関係、順序関係など代表的な関係について解説します。

集合の濃度

集合の濃度とは要素の個数を一般化した概念であり、これを用いることにより無限どうしを比較できるようになります。

実数

REAL NUMBER

実数の公理系から出発して、実数空間上に定義された演算、順序、そして実数の連続性などについて議論します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数の定義

実数を無限小数として定義する場合、実数に関する議論はすべて無限小数に関する議論として行うことになり面倒です。そこで代替的な方法として公理主義的なアプローチのもとで実数を定義します。ここでは実数を特徴づける公理について解説します。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

数直線の位相

実数空間すなわち数直線の位相に関するテキストと演習問題です。実数空間上の開集合や閉集合など、位相を規定する概念について解説します。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

級数

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。

関数列

定義域を共有する無限個の数列を順番に並べたものを関数列と呼びます。関数列およびその収束可能性について解説します。

拡大実数系

すべての実数に正の無限大と負の無限大を加えることにより得られる集合を拡大実数系と呼びます。拡大実数系の位相や拡大実数列、拡大実数値関数などについて解説します。

ユークリッド空間

EUCLIDEAN SPACE

ユークリッド空間を定義した上で、そこでの点列や位相の性質および各種の写像（ベクトル値関数・多変数関数・多変数のベクトル値関数）の極限や連続性などについて解説します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 80%

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ベクトル値関数（曲線）

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

多変数関数（スカラー場）

多変数関数（スカラー場）という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

多変数のベクトル値関数（ベクトル場）

本節では多変数のベクトル値関数（ベクトル場）が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。

距離空間

METRIC SPACE

私たちが一般に想像する「距離」とはユークリッド距離ですが、公理主義にもとづいて距離という概念を定義する場合、ユークリッド距離は数ある距離概念の中の1つに過ぎません。公理主義の立場から距離空間と呼ばれる概念を定義します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 50%

ユークリッド空間 50%

距離空間上の点列

距離空間に属する無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列を定義するとともに、その極限など、基本的な概念について解説します。

距離空間の位相

距離空間上の点の近傍を出発点に、開集合や閉集合などの諸概念を定義し、それらの概念が満たす性質について解説します。

距離空間上の写像

定義域と終集合がいずれも距離空間であるような写像について、その極限や連続性など、基本的な性質について解説します。

微分積分

CALCULUS

微分は「変化」に関する学問です。微分を学べば物事や現象の「変化」を定量的に記述できるようになるだけでなく、変化がもたらす影響を評価したり、変化が起きる場での最適な状態を特定できるようになります。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 80%

ユークリッド空間 80%

1変数関数の微分

1変数関数の微分の概念を定義した上で、微分の基本性質や初等関数の微分、平均値の定理、高階の微分、テイラーの定理などについて学びます。これらの知識は後に1変数関数を目的関数とする最適化について学ぶ上での基盤になります。

ベクトル値関数の微分

曲線（1変数のベクトル値関数）について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の微分

多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。

多変数ベクトル値関数の微分

多変数のベクトル値関数（ベクトル場）の偏微分や方向微分、全微分などの概念について解説します。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

ベクトル値関数の積分

1変数のベクトル値関数（曲線）について、そのリーマン積分を定義した上で、積分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

多変数関数の積分

多変数関数について、そのリーマン積分を定義した上で、積分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

関数の最適化

与えられた制約条件のもとで関数の値を最大化または最小化する変数の値を求めることを最適化と呼びます。ここでは微分可能な関数を対象とする様々な最適化問題の解法を解説します。

微分方程式

DIFFERENTIAL EQUATION

これまで学んだ微分積分の知識を踏まえた上で、様々な微分方程式の解法と微分方程式の応用例について学びます。

前提知識

微分積分 100%

線形代数

LINEAR ALGEBRA

ベクトルや行列などの概念を学んだ上で、連立1次方程式の解法を一般的な形で整理します。さらに、より抽象的なベクトルと呼ばれる概念について学びます。

前提知識

論理 100%

集合 80%

ベクトル

「大きさ」と「方向」という2種類の情報によって表現される量をベクトルと呼びます。ベクトルを定式化するとともに、その性質について解説します。

行列

実数を長方形に配列したものを行列と呼びます。ここでは行列とそれについて定義される代数的演算について学びます。

行列式

連立1次方程式の解を求める問題は行列式の理論と深い関係があります。ここでは行列式の定義および性質を確認した上で、連立1次方程式との関係を議論します。

連立1次方程式

ベクトルや行列に関する知識を活用して連立1次方程式を分析するとともに、解を具体的に求める方法を解説します。

固有値と固有ベクトル

行列を相似な行列に置き換えて、それをなるべく簡単な形へ変換するプロセスを行列の標準化と呼びます。

ベクトル空間

体と非空の集合上に定義されたベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれる演算がベクトル空間の公理を満たす場合、そのような集合をベクトル空間と呼びます。ここではベクトル空間を定義した上で、その基本的な性質を確認します。

複素解析

COMPLEX ANALYSIS

複素数の定義から出発して、複素平面の位相や複素数列、複素級数、複素関数、そしてその微分と積分について解説します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 60%

ユークリッド空間 60%

微分積分 80%

複素数の定義

複素数を成分とする順序対を複素数と呼びます。複素数の概念を定義するとともに、複素数を対象とした演算などについて解説します。

複素数列

複素数を順番に並べたものを複素数列と呼びます。複素数列の項が先に進むにつれてある複素数に限りなく近づく場合には、その複素数列は収束すると言い、その複素数を複素数列の極限と呼びます。

複素級数

複素数列の無限個の項を順番通りに加えることにより得られる和を複素級数と呼びます。複素級数の値は、もとの複素数列の部分和を項とする複素級数の極限として定義されます。

複素平面の位相

複素ユークリッド空間上に定義された距離をもとに複素平面上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

複素関数

複素関数と呼ばれる概念を定義した上で、代表的な複素関数について解説します。また、複素関数の極限や連続性などの概念について解説します。

凸解析

CONVEX ANALYSIS

凸最適化（凸計画法）および凹最適化（凹計画法）と呼ばれる最適化問題を定義するとともに、様々な凸最適化ないし凹最適化問題の解法を解説します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 60%

ユークリッド空間 60%

微分積分 80%

凸集合

凸集合と呼ばれる概念を定義した上で、凸集合どうしの集合演算に関して成立する性質や凸集合の位相的性質について解説します。

凸関数・凹関数

凸関数（凹関数）と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が凸関数（凹関数）であることを判定する方法や、凸関数（凹関数）の基本的な性質について解説します。

準凸関数・準凹関数

準凸関数（準凹関数）と呼ばれる関数を定義するとともに、与えられた関数が準凸関数（準凹関数）であることを判定する方法や、準凸関数（準凹関数）の基本的な性質について解説します。

対応

CORRESPONDENCE

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。

前提知識

論理 100%

集合 80%

対応

集合のそれぞれの要素に対して別の集合の部分集合を1つずつ定める規則を対応と呼びます。ここでは対応、対応による像、逆像（上逆像・下逆像）、逆対応、対応の連続性（上連続性・下連続性）、ベルジュの最大値定理、および不動点定理などについて解説します。

測度

MEASURE

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。

前提知識

論理 100%

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間（数直線）の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

ルベーグ可測関数

ルベーグ集合上に定義された関数によるボレル集合の逆像がルベーグ可測であることが保証される場合、そのような関数をルベーグ可測関数と呼びます。代表的な可測関数について、その性質を解説します。

ルベーグ積分

ルベーグ積分とは測度論を用いてより一般的な関数に対して積分を定義する手法です。ルベーグ積分を用いることにより、リーマン積分では積分できなかった様々な関数が積分可能になります。

ディニ微分

微分を一般化したディニ微分と呼ばれる微分概念を導入するとともに、ルベーグ積分との関係について解説します。

確率と統計

PROBABILITY AND STATISTICS

起こり得るすべての結果は分かっていても、その中のどの結果が実際に起こるかを前もって完全に予測てきない状況をランダムネスと呼びます。確率論とはランダムネスを分析対象とする学問です。

前提知識

論理 100%

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。確率変数の概念を定義するとともに、その性質を解説します。

離散型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が有限個ないし可算個である場合には離散型の確率変数を利用します。

連続型の確率分布

確率に関して定量的な分析を行うために確率変数を用いて標本点を数値化します。特に、試行において起こり得る結果が非可算個である場合には連続型の確率変数を利用します。

COURSE

ECONOMICS

経済学

経済学のコース一覧です

ミクロ経済学

MICROECONOMICS

世の中に存在する資源は有限であるため、それをいかに配分し、活用するかが問題になります。経済学は資源配分について分析する学問です。ミクロ経済学の特徴は、消費者や企業など、個々の主体による意思決定を分析単位とする点です。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 70%

ユークリッド空間 70%

微分積分 80%

線形代数 60%

凸解析 70%

対応 70%

消費者理論

世の中に存在する資源は有限であり、加えて消費者は所得をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ消費できるわけではありません。だからこそ消費者が何をどのように選ぶのかという問題について考える意味があります。消費者理論は、様々な制約に直面する消費者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。

生産者理論

世の中に存在する資源は有限であり、加えて生産者は技術水準や資本をはじめとする様々な制約に直面しているため、好きなものを好きなだけ生産できるわけではありません。生産者理論は、様々な制約に直面する生産者がどのような意思決定を行うかを明らかにしようとします。

市場均衡理論

これまでは消費者や生産者など個々の主体の最適な意思決定について分析してきましたが、市場均衡理論においては、そのような主体が集まった場合に、市場全体でどのような状態が実現するかを分析します。

不完全競争市場

市場において商品が少数の生産者によって供給されている場合や商品の差別化が行われている場合などにはプライス・テイカーの仮定は成り立たず、生産者は価格を主体的に操作できます。そのような不完全競争市場における生産者の行動を分析します。

不確実性下の意思決定

現実の様々な場面において行動と結果は1対1で対応しているとは限りません。ある行動を選択した場合、実際に起こり得る結果として複数の候補が存在し、なおかつ、その中のどの結果が実際に起こるかが完全に予測できない状況、すなわちランダムネスが成立している状況が起こり得るということです。以上の状況下における最適な意思決定について考えます。

ゲーム理論

GAME THEORY

ゲーム理論は戦略的相互依存性が存在する状況を研究する学問です。戦略的相互依存性が存在する状況とは、複数の主体が関わり合う場面において、それぞれの主体が最終的に直面する結果が自身の行動だけによって決まるのではなく、他の主体による行動にも依存するような状況を指します。

前提知識

論理 100%

集合 80%

実数 70%

ユークリッド空間 70%

微分積分 80%

対応 70%

ゲーム理論におけるゲームの定義

戦略的相互依存関係が成立する状況をゲームと呼びます。ゲームを特徴づける要素をゲームのルールと呼びます。ゲームを記述するためには、そのゲームのルールを具体的に特定する必要があります。

完備情報の静学ゲーム

完備情報の静学ゲームとは非協力かつ静学かつ完備情報であるようなゲームのことです。つまり、そこではプレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず（非協力）、それぞれのプレイヤーは意思決定を行う際に他のプレイヤーたちが行った意思決定を事前に観察できず（静学）、なおかつゲームのルールはプレイヤーたちにとって共有知識です（完備情報）。完備情報ゲームにおける均衡概念はナッシュ均衡です。

不完備情報の静学ゲームとは非協力かつ静学かつ不完備情報であるようなゲームのことです。つまり、そこではプレイヤーたちの間に拘束的な合意は成立せず（非協力）、それぞれのプレイヤーは意思決定を行う際に他のプレイヤーたちが行った意思決定を事前に観察できず（静学）、なおかつ少なくとも1人のプレイヤーがゲームのルールに関して私的情報を持ちます（不完備情報）。不完備情報ゲームにおける均衡概念はベイジアンナッシュ均衡です。