Q-похідна

Q-похідна або похідна Джексона — це q-аналог звичайної похідної, який запропонував Франк Гілтон Джексон. Q-похідна обернена до q-інтегрування Джексона. Інші види q-похідної можна знайти в статті К. С. Чанга, В. С. Чанга, С. Т. Нама і Г. Дж. Кана.

Визначення

Q-похідна функції f (x) визначається як

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

і часто записується як $D_{q}f(x)$. Q-похідна відома також як похідна Джексона.

Формально, в термінах оператора зсуву Лагранжа в логарифмічних змінних, це рівносильно оператору

$D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,$

який приводить до звичайної похідної, → ^d ⁄ _dx при q → 1.

Оператор очевидно лінійний,

$\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.$

Q-похідна має правило для добутку, аналогічне правилу добутку для звичайної похідної в двох еквівалентних формах

$\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

Аналогічно, q-похідна задовольняє правилу для ділення,

$\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.$

Є також правило, подібне до правила звичайного диференціювання суперпозиції функцій. нехай $g(x)=cx^{k}$ . тоді

$\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).$

Власна функція q -похідної — це q-показникова функція e_q(x).

Зв'язок зі звичайними похідними

Q-диференціювання нагадує звичайне диференціювання з курйозними відмінностями. Наприклад, q-похідна одночлена дорівнює

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$ ,

де $[n]_{q}$ — q-дужка числа n. Зауважимо, що $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$, так що звичайна похідна повертається в границі.

Для функції n-а q-похідну можна задати як:

$(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!$

за умови, що звичайна n-а похідна функції f існує в x = 0. Тут $(q;q)_{n}$ — q-символ Похгаммера, а $[n]_{q}!$ — q-факторіал. Якщо функція $f(x)$ аналітична, можна використати формулу Тейлора для визначення $D_{q}(f(x))$

$\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).$

Q-аналог розкладу Тейлора функції поблизу нуля:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}$

Див. також

• Похідна
• Інтеграл Джексона
• Q-показникова функція
• Q-різницеві многочлени
• Квантове числення
• Ентропія Цалліса

Література

• Jackson F. H. On q-functions and a certain difference operator // Trans. Roy. Soc. Edin.. — 1908. — Т. 46 (28 грудня). — С. 253-281.
• Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester : Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914.
• Victor Kac, Pokman Cheung. Quantum Calculus. — Springer-Verlag, 2002. — (Universitext) — ISBN 0-387-95341-8.
• Chung K. S., Chung W. S., Nam S. T., Kang H. J. New q-derivative and q-logarithm // International Journal of Theoretical Physics. — 1994. — Т. 33 (28 грудня). — С. 2019-2029.

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math / 9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method, (2001),