Метод ізоспектральної деформації

Метод ізоспектральної деформації — метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь. Був відкритий у 1967 році.

Сутність методу

Метод ізоспектральної деформації полягає в тому, що інтеграли руху розглядуваної динамічної системи є власними значеннями деякої матриці $L$, яка залежить від динамічних змінних цієї системи. Природа цієї залежності така, що спектр матриці для будь-якого рішення рівнянь руху від часу не залежить. Таким чином, у процесі еволюції динамічної системи ця матриця зазнає ізоспектральну деформацію. Власні ж значення матриці, розглядувані як функціонали від змінних динамічної системи, представляють інтеграли руху.

Усі відомі системи такого типу пов'язані із алгебрами Лі й у всіх відомих випадках їх інтегровуваність обумовлена наявністю суперсиметрії.

Визначення

Розгляньмо клас матриць, наприклад, усіх матриць Якобі вигляду

$L={\begin{pmatrix}0&a_{1}&0&&0&\\a_{1}&0&a_{2}&&&&\\.&.&.&&&&\\&.&.&.&&&\\&&.&.&.&\\&&&.&.&a_{-1}\\&&0&&a_{n-1}&0\end{pmatrix}}$

із додатними елементами $a_{1},a_{2},...,a_{n-1}.$ Їх власні значення дійсні або прості. Потрібно віднайти усі матриці цього класу, які мають однаковий спектр. Можна подумати, що наявних параметрів недостатньо, але оскільки

$K^{-1}LK=-L$ при $K=\mathrm {diag} (1,-1,+1,...),$

для характеристичного многочлена

$\Delta _{n}(\lambda )=\mathrm {det} (\lambda I-L)$

маємо співвідношення

$\Delta _{n}(\lambda )=(-1)^{n}\Delta _{n}(-\lambda ).$

Відповідно, разом із $\lambda$ також і $-\lambda$ є власним значенням, $\lambda =0$ буде власним значенням за неперного $n.$ Таким чином, фіксування власних значень накладає $[n/2]$ умов, і розмірність простору ізоспектральних матриць виявляється рівною $n-[n/2].$

Для отримання ізоспектральних деформацій Лакс розглядував диференціальні рівняння у формі

${\frac {d}{dt}}L=BL-LB,$

де $L=L(t),\,\,t$ - параметр деформації. Матриця $B$ повинна бути підібрана так, щоб комутатор $[B,L]$ мав нулі усюди за винятком елементів на двох діагоналях, які повинні співпадати. У даному випадку в якості одного з можливих варітанів знаходиться кососиметрична матриця

$B={\begin{pmatrix}0&0&a_{1}a_{2}&0&&&\\0&0&0&a_{2}a_{3}&&\\-a_{1}a_{2}&0&...&...&&&\\&&&&0&a_{n-2}a_{n-1}\\&&&0&0&0\\&&&-a_{n-2}a_{n-1}&0&0\end{pmatrix}},$

для якої диференціальне рівняння ${\frac {d}{dt}}L=BL-LB$ приймає вигляд

${\dot {a}}_{k}=a_{k}(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}),\quad \quad k=1,2,...,n-1,$

де формально $A_{0}=0=a_{n}.$

Диференціальне рівняння ${\frac {d}{dt}}L=BL-LB$ приводить до ізоспектральних деформацій.

Якщо вирішувати диференціальне рівняння

${\frac {d}{dt}}U=BU,\quad \quad U(0)=I,$

то ${\frac {d}{dt}}L=BL-LB,$ гарантує, що

${\frac {d}{dt}}(U^{-1}LU)=0,$

відповідно,

$U^{-1}LU=L(0).$

Таким чином, власні значення $L$ залишаються сталими під дією цієї деформації. Коефіцієнти $I_{k}$ характеристичного поліному

$\Delta _{n}(\lambda )=\lambda ^{n}+I_{1}\lambda ^{n-1}+...+I_{n}$

також є інтегралами руху, поліноміальними по $a_{1}^{2},a_{2}^{2},...,a_{n-1}^{2}.$

Приклад

Нехай є інтегрована система $n$ взаємодіючих частинок у стандартному конфігураційному просторі $\mathbb {R} ^{n}.$ Такі системи описуються гамільтоніаном

$H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{j<k}v(q_{j}-q_{k}),\quad \quad p_{j},q_{k}\in \mathbb {R} ^{n}.$

У просторі двох й більшого числа вимірів відома лише одна система- система $n$ взаємодіючих осциляторів:

$v(q)={\frac {1}{2}}\omega ^{2}q^{2}.$

Після уведення координат Якобі така система зводиться до системи $n-1$ частинки, яка рухається незалежно у загальному осциляторному потенціалі.

Нехай система $n$ частинок має одиничну масу, які знаходяться на прямій і попарно взаємодіють одна із одною. Така система описується гамільтоніаном

$H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{j<k}v(q_{j}-q_{k}).$

Підберемо потенцал $v(q)$ таким чином, щоб розглядувана система мал додаткові інтеграли руху. Припустимо, нам вдалося віднайти пару матриць $L,B$, які залежать від динамічних змінних $p$ та $q$ (пара Лакса), так що рівняння Гамільтона

${\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},\quad \quad {\dot {q}}_{j}=p_{j}$

є еквівалентними матричному рівнянню

$i{\dot {L}}=[B,L].$

Така форма запису називається представленням Лакса. Звідси слідує, що матриця $L(t)$ зазнає перетворення подібності

$L(t)=u(t)L(0)u^{-1}(t),\quad \quad B=i{\dot {u}}u^{-1}.$

При цьому матриця $B$ є еміртовою, матриця $u$ унітарна $u^{-1}=u^{+}.$ Відповідно, власні значення матриці $L(t)$ від часу не залежать, тобто є інтегралами руху; або, іншими словами, матриця $L(t)$ із плином часу зазнаєізоспектральну деформацію. При цьому в якості інтегралів руху часто буває зручно використовувати не власні значення $L(t)$, а симетричні функції від них, наприклад величини

$I_{k}=k^{-1}\,\mathrm {tr} (L^{k}).$

Якщо з допомогою такого прийому вдається віднайти $n$ функціонально незалежних інтегралів руху й показати, що усі вони знаходяться у інволюції, то розглядувана система є цілком інтегровуваною.

Див.також

• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза