Відображення Пуанкаре

Відображення Пуанкаре трансверсальної площинки на себе визначається точкою першого повернення траєкторії на площинку

В теорії динамічних систем, розділі математики, відображення Пуанкаре (також відображення першого повернення) — це проєкція деякої площинки у фазовому просторі на себе (або на іншу площинку) уздовж траєкторій (фазових кривих) системи.

Докладніше відображення Пуанкаре визначається так. Розглянемо деяку ділянку поверхні у фазовому просторі (перетин Пуанкаре), трансверсальну до векторного поля системи (тобто не дотичну до поля; часто кажуть просто трансверсаль). З точки $x$ на трансверсалі випустимо траєкторію системи. Припустимо, що в якийсь момент траєкторія вперше перетнула трансверсаль знову; позначимо точку перетину через $y$. Відображення Пуанкаре точці $x$ ставить у відповідність точку першого повернення $y$. Якщо траєкторія, випущена з $x$, ніколи не повертається на трансверсаль, то відображення Пуанкаре в цій точці не визначено.

Аналогічно можна визначити відображення Пуанкаре не тільки з трансверсалі на себе, але і з однієї трансверсалі на іншу.

Ітерації відображення Пуанкаре з деякої трансверсалі на себе утворюють динамічну систему з дискретним часом на фазовому просторі меншої розмірності. Властивості цієї системи мають тісний зв'язок із властивостями початкової системи з неперервним часом (наприклад, нерухомі і періодичні точки відображення Пуанкаре відповідають замкнутим траєкторіям системи). Тим самим встановлюється зв'язок між векторними полями і їх потоками з одного боку й ітераціями відображень — з іншого. Відображення Пуанкаре є важливим інструментом дослідження динамічних систем з неперервним часом.

Див. також

• Відображальна функція Мироненка

Посилання

• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.