Viviani teoremi

Üçgenin içerisinde kalan herhangi bir P noktası için, bu noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı s + t + u, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir.

Adını Vincenzo Viviani'den alan Viviani teoremi, herhangi bir iç noktadan bir eşkenar üçgenin kenarlarına olan en kısa mesafelerin toplamının üçgenin yüksekliğinin uzunluğuna eşit olduğunu belirtir. Çeşitli matematik yarışmalarında, ortaokul matematik sınavlarında yaygın olarak kullanılan bir teoremdir ve gerçek dünyadaki birçok probleme uygulanabilirliği vardır.

İspat

Viviani teoreminin görsel ispatı:

1.	P noktasından ABC eşkenar üçgeninin kenarlarına olan en kısa mesafeler gösterilmiştir.
2.	Sırasıyla AB, BC ve CA'ya paralel olan ve P'den geçen DE, FG ve HI doğruları PHE, PFI ve PDG benzer üçgenlerini tanımlar.
3.	Bu üçgenler eşkenar olduğundan, yükseklikleri dikey olacak şekilde döndürülebilir.
4.	PGCH bir paralelkenar olduğundan, PHE üçgeni yukarı kaydırılarak yüksekliklerin toplamının NUI üçgeninin yüksekliğine eşit olduğu gösterilebilir.

Bu isapt, bir üçgenin alanının, tabanının yarısı ile yüksekliğinin çarpımı, yani bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı olduğu şeklindeki kolayca kanıtlanabilen önermeye dayanır.

ABC yüksekliği h ve kenarları a olan bir eşkenar üçgen olsun.

P üçgenin içindeki herhangi bir nokta olsun ve s, t, u P'nin kenarlara olan dik uzaklıkları olsun. P'den A, B ve C'nin her birine bir doğru çizerek PAB, PBC ve PCA üçgenlerini oluşturun.

Şimdi, bu üçgenlerin alanları ${\frac {u\cdot a}{2}}$, ${\frac {s\cdot a}{2}}$ ve ${\frac {t\cdot a}{2}}$'dır. Bunlar çevreleyen üçgeni tam olarak doldurur, dolayısıyla bu alanların toplamı çevreleyen üçgenin alanına eşittir. Yani şöyle yazabiliriz:

${\frac {u\cdot a}{2}}+{\frac {s\cdot a}{2}}+{\frac {t\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot a}{2}}$

ve böylece

$u+s+t=h$

Q.E.D.

İlişkisel karşıtanlam

Bunun tersi de geçerlidir: Bir üçgenin bir iç noktasından kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, üçgen eşkenardır.

Uygulamaları

Metan için yanıcılık grafiği

Daha fazla bilgi: Üçlü çizim

Viviani teoremi, bir eşkenar üçgenin kenarlarına paralel doğruların, yanıcılık grafiği gibi üçlü çizim yapmak için koordinatlar verdiği anlamına gelir.

Daha genel olarak, aynı şekilde düzenli bir simpleks üzerinde koordinatlar verilmesini mümkün kılar.

Genişletmeler

Paralelkenar

Bir paralelkenarın herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir dörtgenin iç kısmındaki bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızsa, o zaman dörtgen bir paralelkenardır.

Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olan herhangi bir 2n-gene genelleştirilebilir. Karşılıklı paralel kenarların herhangi bir çifti arasındaki mesafelerin toplamı sabit olduğundan, paralel kenar çiftleri arasındaki tüm ikili toplamların toplamının da sabit olduğu sonucuna varılır. Sonuç, karşılıklı kenarları paralel olması gerekmeyen bir eşkenar altıgen için geçerli olduğundan, genel olarak tersi doğru değildir.

Düzgün çokgen

Eğer bir çokgen düzgün (hem eşaçılı hem de eşkenar) ise, bir iç noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı noktanın konumundan bağımsızdır. Spesifik olarak, n çarpı apoteme eşittir; burada n kenar sayısı ve apotem merkezden bir kenara olan mesafedir. Bununla birlikte, tersi geçerli değildir; kare olmayan paralelkenar bir karşı örnektir.

Eşaçılı çokgen

Bir iç noktadan eşaçılı çokgen kenarlarına olan uzaklıkların toplamı noktanın konumuna bağlı değildir.

Dışbükey çokgen

Dışbükey (konveks) bir çokgenin herhangi bir iç noktasından kenarlara olan uzaklıkların sabit bir toplamına sahip olması için gerek ve yeter koşul, eşit uzaklık toplamlarına sahip doğrusal olmayan üç iç noktanın bulunmasıdır.

Düzgün çokyüzlü

Bir düzgün çokyüzlünün iç kısmındaki herhangi bir noktadan kenarlara olan uzaklıkların toplamı, noktanın konumundan bağımsızdır. Ancak bunun tersi dört yüzlüler için bile geçerli değildir.

Konuyla ilgili okumalar

• Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). "The Fermat-Steiner problem". Amer. Math. Monthly. 109 (5). ss. 443-451. doi:10.2307/2695644. JSTOR 2695644. 
• Samelson, Hans (2003). "Proof without words: Viviani's theorem with vectors". Math. Mag. 76 (3). s. 225. doi:10.2307/3219327. JSTOR 3219327. 
• Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). "The converse of Viviani's theorem". The College Mathematics Journal. 37 (5). ss. 390-391. doi:10.2307/27646392. JSTOR 27646392. 
• Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). "On Viviani's theorem in three dimensions". Math. Gaz. 89 (515). ss. 283-287. doi:10.1017/S002555720017785X. JSTOR 3621243. 
• Zhou, Li (2012). "Viviani polytopes and Fermat Points". Coll. Math. J. 43 (4). ss. 309-312. arXiv:1008.1236 $2. CiteSeerX 10.1.1.740.7670 $2. doi:10.4169/college.math.j.43.4.309. 

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Viviani's Theorem (MathWorld)
• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• "Viviani's Theorem: What is it?". Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link) at Cut the knot.
• Warendorff, Jay. "Viviani's Theorem". Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link) the Wolfram Demonstrations Project.
• "A variation of Viviani's theorem & some generalizations". Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link) at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.
• Abboud, Elias (2017). "Loci of points inspired by Viviani's theorem". arXiv:1701.07339 $2. 
• Armstrong, Addie; McQuillan, Dan (2017). "Specialization, generalization, and a new proof of Viviani's theorem". arXiv:1701.01344 $2.