Stokastik süreç

Stokastik süreç, Stokastik işlemi (veya rastgele süreç), zaman veya mekana göre değişen/evrilen olguları tanımlamak için kullanılan bir olasılık modelidir. Daha kapsamlı olarak, olasılık teorisinde, stokastik süreç, değişimi rastgele bir varyasyona bağlı olan bir değişken tarafından temsil edilen bazı sistemlerin gelişimini yansıtan bir zaman dizisidir. Bu, belirleyici süreç anlamına gelen deterministik sürecin (veya deterministik sistemin) olasılıkçı muadilidir. Sadece tek yönlü olarak değişebilen bir süreci tasvir etmek yerine (örneğin, sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünde olduğu gibi) bir stokastik veya rastgele süreçte, bazı belirsizlikler vardır. Hatta başlangıçtaki durum (veya başlangıç noktası) biliniyor olsa dahi sürecin gelişebileceği/değişebileceği bazı (çoğunlukla sonsuz) yönler vardır. Birçok stokastik süreçte, bir sonraki duruma veya konuma geçiş, yalnızca mevcut duruma bağlıdır ve işlemin önceki durumlarından veya değerlerinden bağımsızdır.

Ayrık zamanın basit formunda, sürekli zamanın aksine, stokastik süreç rastgele değişkenlerin bir dizilimidir. (Örneğin, ayrık zamanlı Markov zinciri olarak da bilinen Markov zincirine bakın.) Çeşitli zamanlara karşılık gelen rastgele değişkenler tamamen farklı olabilir, tek şart bu farklı rastgele niceliklerin hepsinin aynı uzayda değerler almasıdır (fonksiyonun değer kümesi). Bu rastgele değişkenleri bir veya birkaç deterministik argüman argümanın rastgele fonksiyonları olarak modellemek bir yaklaşım olabilir (çoğu durumda, zaman parametresi). Bir stokastik sürecin farklı zamanlardaki rastgele değerleri bağımsız rastgele değişken olabilse de, birçok genel olarak kabul görmüş durumda karmaşık istatistiksel bağımlılık sergiler.

Stokastik süreçlerin tanıdık örnekleri arasında borsa ve döviz kuru dalgalanmaları; Konuşma gibi sinyaller; Ses ve video; Bir hastanın EKG, EEG, kan basıncı ya da sıcaklığı gibi tıbbi veriler; ve Brown hareketi veya rastgele yürüyüşler gibi rastgele hareketi sayabiliriz.

Bir genelleme yaparsak, rastgele alan, değişkenlerin zaman yerine bir topolojik uzayın terimleri ile parametrelenmesine izin verilerek tanımlanır. Rastgele alanlara örnek olarak statik görüntüler, rastgele arazi (peyzaj), rüzgâr dalgaları ve heterojen bir malzemenin bileşim varyasyonları gösterilebilir.

Resmi tanım ve temel özellikler

Tanımı

Verilen bir olasılık kümesi $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ ve ölçümlenebilir bir kümede $(S,\Sigma )$ (S,değerli bir stokastik süreç, $\Omega$ ’daki S değerli rastgele değişkenlerin toplamı, tamamen T("zaman") ile endekslenmiş toplamıdır. Bir stokastik X süreci, $\{X_{t}:t\in T\}$

her $X_{t}$ 'nin $\Omega$ içinde S değerli bir rastgele değişken olduğu bir toplamdır. S kümesi bundan sonra işlemin durum kümesi olarak adlandırılır.

Sonlu boyutsal dağılımlar

X, S değerli bir stokastik süreç olsun. Her sonlu sıralamada, $T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}$, k değişkenler grubu $X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})$ $\mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))$ $S^{k}$ daki değerleri alan bir rastgele değişkendir. Buna, X 'in sonlu boyutsal dağılımı denir.

Uygun topolojik kısıtlamalar altında, bir stokastik süreci tanımlamak için uygun "tutarlı" sonlu boyutlu dağılım koleksiyonu kullanılabilir ("Yapı" bölümünde Kolmogorov eklentisine bakın).

Stokastik süreçlerin tarihçesi

Stokastik süreçler, ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında finansal piyasalar ve Brown hareketini anlamaya yardımcı olmak için titizlikle incelenmiştir. Brown hareketinin matematiksel temelini ilk defa Thorvald N. Thiele, 1880'de yayınlanan en küçük kareler metodu üzerine yazdığı bir yazıda tanımlamıştır. Bunu, 1900'de diğer çalışmadan bağımsız olarak Louis Bachelier tarafından yazılan, hisse senedi ve opsiyon piyasalarının stokastik analizini sunduğu "Spekülasyon teorisi" doktora tezi izlemiştir. Bilgisayar destekli finansal karar alma modellerinin yaygınlaşmasıyla birlikte stokastik süreçler finansal piyasalarda en önemli çalışma alanı haline gelmiştir. Temelde brown hareketinin ya da random walk'ın statik analizi finansal kararlar için yetersizdir. Fiyatın nereye gideceği bilgisi portföy ve risk optimizasyonuna ilişkin bir bilgi vermez çünkü portföy riskleri birden fazla alım-satımın oluşturduğu birleşik bir süreçtir ve istatistiğin süreç disiplini olan stokastik analiz yöntemleriyle incelenebilir. Albert Einstein (1905 tarihli bir çalışmasında) ve Marian Smoluchowski (1906), sorunun çözümünü, atomlar ve moleküllerin varlığını dolaylı olarak doğrulamak için bir yol olarak fizikçilerin dikkatine sundular. Brown hareketini tanımlayan denklemleri daha sonra Jean Baptiste Perrin'in 1908'deki deneysel çalışmasıyla doğrulanmıştır. Einstein'ın makalesinden bir alıntı, bir stokastik modelin temellerini açıklıyor:

"Her partikülün diğer tüm parçacıkların hareketlerinden bağımsız bir hareketi gerçekleştirdiği açıkça görülmelidir; aynı zamanda, farklı zaman aralıklarında bir ve aynı parçacığın hareketleri zaman aralıkları çok küçük seçilmedikçe bağımsız hareketlerdir."

Gözlemlenebilir zaman aralıklarına kıyasla çok küçük olan bir zaman aralığı τ tanıtıyoruz, ancak yine de o kadar büyük ki, iki ardışık τ zaman aralığında, parçacık tarafından yürütülen hareketler birbirinden bağımsız olan olaylar olarak düşünülebilir ".

Yapılar

Ölçüm teorisi aracılığıyla olasılık teorisinin sıradan aksiyomazisyonunda sorun, tüm işlemlerin uzantısının ölçülebilir kısmının sigma cebirini inşa etmek ve sonra üstüne kesin bir ölçü koymaktır. Bu amaç için geleneksel bir şekilde kullanılan yöntem Kolmogorov uzantısı’dır.

Kolmogorov uzantısı

Kolmogorov uzantısı, aşağıdaki dizinler boyunca sürmektedir. Bütün işlemlerin uzantısı üstüne olasılık ölçümünü kabul edersek; $f:X\to Y$ var olur, sonra kesin boyutsal olasılığının rastgele çeşitlere bağlantısını özelleştirmek için $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ kullanılır. Şimdi n-boyutsal katkısından, $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})$ için (n-1) boyutsal marjinal boyutsal katkısını çıkarabiliriz. Açıkça işleyebilirlik boyutuna dikkat edelim ki, ismen, bu marjinal olasılık katkısı tam şişimiş stokastik süreçten gelen olarak aynı sınıftadır, bir gereksinim değildir. Eğer stokastik süreç Wiener süreciyse (ki olay alan marjinaller artış sınıfının tüm gaussça katkılarıdır) ama bütün stokastik süreçler için genel değildir, sadece bu gibi koşullarda elde dilir. Bu koşul, olasılık yoğunluğu açısından açıklandığında sonuç Chapman−Kolmogorov eşitliği olarak adlandırılır.

Kolmogorov uzantı teoremleri, Chapman−Kolmogorov işleyeblirlik koşulunu tatmin eden kesin boyutsal olasılık dağılımları verilen ailesi ile stokastik sürecin var oluşuna garanti eder.

Parçalanabilirlik ya da Kolmogorov uzantısının neyi sağlamadığı

Kolmogorov aksiomatizasyonunu hatırlarsak ölçüm setleri olasılık olan setlerdir ya da bir başka deyişle olasılıksal cevapları olan sorulara evet /hayır cevabı veren setlerdir. Kolmogorov uzantısı, $Y_{n}$’nin ölçülebilir kısımlarında yatmaya kısıtlanan kesin birçok koordinatın bulunduğu yerde $[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]$ fonksiyonlarının bütün ölçülebilir setlerinin bildirimiyle başlar. Diğer bir deyişle, birçok koordinatın çoğundaki değerlere bakılarak f ile ilgili evet/hayır cevabı verilebilinirse, o zaman, O olasılık cevabı olur.

Ölçüm teorisinde eğer ölçülebilir setlerin koleksiyon sayısına sahipsek o halde hepsinin birleşim ve kesişimleri ölçülebilir settir. Amacımız için bu, olasılıksal cevabı olan sayılabilen birçok kordinata bağlı olan evet/hayır soruları anlamına gelir.

İyi haber şu ki Kolmogorov uzantısı oldukça izafi kesin boyutsal katkıları ile stokastik süreci olanaklı kılar. Hem de rastgele bir sıralama ile sorulduğunda, kişinin alabileceği yalnızca bir muhtemel cevap vardır. Kötü haber şu ki fonksiyonla ilgili net sorulara sürekli net olasılık cevabı yoktur. Kişi, fonksiyonla azıcık ilgili olan sayılamaz birçok değere bağlı sorular olduğunu ümit eder, ama gerçekten kötü haber şu ki neredeyse hesapların tüm konsepti bu türdür. Örneğin;

1. Sınırsızlık
2. Devamlılık
3. Farklılaştırılabilirlik

Tamamı fonksiyonun birçok sayılamayan değerinin bilgisini gerektirir. Tek çözüm stokastik sürecin bölünmesini gerektirir.

Bir başka deyişle, birkaç sayılabilir koordinat vardırki seti $\{f(x_{i})\}$ değerleri bütün f’in rastgele fonksiyonlarını belirtir.

Kolmogorov devam teoremleri, sürekli modifikasyonu olan artışlarının anları üzerine kesin zincirsel tahmini eden süreçleri garanti eder ve bundan dolayı bölünebilirler.

Filitrelemeler

Verilen olasılık uzamı $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ bir filtreleme $\Omega$ üzerine sigma-cebirinin koleksiyonundaki hafif artıştır.$\{{\mathcal {F}}_{t},t\in T\}$ setinin toplamsal birkaç düzeni tarafından listelenir ve ${\mathcal {F}}$ tarafından yukarı sıçratılır. v.b. için s,t  $\in T$ ile s < t,

${\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}$.

Bir stokastik süreç $X$ aynı anda $T$ seti üzerinde, filtreleme adaptasyonu olduğu söylenebilir. Eğer her t  $\in T$, $X_{t}$ ise ${\mathcal {F}}_{t}$'de ölçülebilirdir.

Doğal filtreleme

Verilen bir stokastik süreç $X=\{X_{t}:t\in T\}$, doğal filtreleme bu süreç için ( ya da ikna edilen ) zamana göre ${\mathcal {F}}_{t}$’in tüm değerleri tarafından ${\mathcal {F}}_{t}$ ‘nin üretildiği yer filitrelemedir.

s = t, i.e. ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (\{X_{s}^{-1}(A):s\leq t,A\in \Sigma \})$

Bir stokastik süreç daima kendi doğal filtrelemesine adapte edilir.

Sınıflandırma

Stokastik süreçler indeksin sıralamasına göre (genellikle zamansal) durumsal sınıflandırılabilirler.

Ayrı zaman ve ayrı durum uzantısı

Eğer $t$ ve $X_{t}$’nin her ikisi de $\mathbb {N}$ (doğal sayılar seti)’ ye aitse o zaman Markov zincirlerine yön veren modellere sahibizdir.

• Eğer $X_{t}$ aktarılan bitlerin sırasının $t$ pozisyonunda bit (o ya da 1) ise, o zaman $X_{t}$ iki durumlu Markov zinciri olarak modellenebilir. Bu data gönderimindeki hatayı düzeltir, virtebi algoritmasına yön verir.
• Eğer $X_{t}$ doğurmayan bir model $t$^th de doğuran bir çiftin genotip bileşimini sunar. Bu da gösterir ki nüfustaki heterojen bireysellerin oranı ∞’a giden $t$ olarak eşitlenir.

Devam eden zaman ve devam eden durum uzantısı

Devam eden stokastik süreç paradigması, Wiener sürecidir. Asıl formunda problem, sıvı moleküllerinden sıvı yüzey üstünde yüzen vuruş alan parçacıkla ilgilidir. Parçacık o halde rastgele gücün öznesi, çünkü moleküller çok küçük ve birbirine yakın ve sürekli bu şekilde davranan olarak görülür ve çünkü parçacıklar yüzey basıncından sıvı yüzeyine zincirlidir ve zamanla yüzeye paralel taşıyıcı her noktadır. Böylece rastgele güç stokastik sürecin iki bileşenince tasvir edilir. İki gerçek-değerli rastgele çeşitler indeks setinde, zamanın (sıvı homojen bir güç olarak göründüğünden döngüsel koordinatlara bağlıdır.) R olarak iki rastgele çeşit alanı ile, gücün x ve y içeriklerini vererek ilintilidir. Genellikle Brownian hareket tarzı hem de Langevin eşitliği olarak bilinen bir hareket eşitliği ile sonuçlanan yapışkan sıvı etkisini içerir.

Ayrı zaman ve devam eden durum uzantısı

Eğer indeks süreç seti N(doğal sayılar) ve çeşit R(gerçel sayılar) ise örnek dizinin {X_i}_{i ∈ N} olduğu yer olan {X_i(ω)}_{i ∈ N} sürecinin örnek dizini hakkında sorulan birkaç doğal soru vardır.

1. Her bir örneğin sınırlandırma olasılığı nedir?
2. Her örneğin monoton dizileri olasılığı nedir?
3. her örneğin indeks yaklaşımları ∞ olarak limitinin olasılığı nedir?
4. $f(i)$ yakınsaması her örneğinden elde edilen diziler olasılığı nedir?
5. Matematik probleminin katkı olasılığı nedir?

Ayrı zaman devam eden durum stokastik modelin esas uygulaması Markov zinciri Monte Carlo (MCMC)’yi ve zaman dizinlerinin analizini içerir.

Devam eden zaman ve ayrı durum uzantısı

Benzer olarak, eğer indeks uzantısı I kesin ya da kesin olmayan aralık ise {X_t(ω)}_{t ∈ I} örnek patikası hakkında soru sorabiliriz.

1. Sınırlandırılmış/tümlevnebilir olma olasılığı nedir?
2. ∞ limiti olma olasılığı nedir?
3. İntegral katkı olasılığı nedir?