Sınırlı küme

Matematikte, özellikle analizde, elemenlarının birbirinden uzaklığının sabit bir sayıdan küçük olduğu kümelere sınırlı kümeler denilir. Sınırlı olmayan bir kümeye ise sınırsız küme denir.

Verilen bir küme hakkında sınırlılıktan bahsetmek için bu kümenin üzerinde tanımlı bir uzaklık fonksiyonunun, diğer deyişle, bir metrikten bahsetmek gerekecektir. Bu sebeple, kümeler için sınırlılık kavramı, üzerinde iyi-tanımlı bir metrik olmayan herhangi bir topolojik uzay için geçerli olmaz.

Bir kümenin sınırı ise başka bir kavramdır ve topolojik sınıra işaret eder. Sınırlı bir kümenin topolojik sınırı olmayabilir. Örneğin, birim çemberin topolojik sınırı yoktur ama bütün elemanlarının büyüklüğü bire eşit olduğu için sınırlı bir kümedir. Başka bir örnek ise ters yönde verilebilir. Örneğin, $\mathbb {R} ^{2}$ deki üst yarı düzlemin topolojik sınırı, gerçel sayılar doğrusudur; yâni, topolojik sınırı vardır. Ancak, üst yarı düzlem sınırsız bir kümedir.

Sınırlı bir küme kapalı olmak zorunda değildir veya her kapalı küme sınırlı bir küme olmak zorunda değildir.

Tanım

Gerçel kümeler için tanım

Gerçel sayıların bir altkümesi $S$ verilmiş olsun.

Üstten sınırlılık

$S$ deki tüm $s$ değerleri için $k\geq s$ olacak şekilde bir $k$ gerçel sayısı varsa, $S$ kümesine üstten sınırlı ya da yukarıdan sınırlı denir. Tanımdaki $k$ gerçel sayısına ise $S$ nin üst sınırı denir. Tanımdaki önemli bir nokta, $k$ sayısının $S$ kümesinin elemanı olmak zorunda olmamasıdır. Başka bir önemli nokta ise, bir kümenin tek bir üst sınırının olmayabileceğidir. Örneğin,

$S:=(0,1)$ kümesinin bütün elemanları $2$ 'den küçüktür. Bu yüzden, $2$ $S$ kümesinin üst sınırıdır. Ancak, $(0,1)$ kümesinin bütün elemanları $1$ 'den de küçüktür. Bu yüzden, $1$ de $S$ kümesinin üst sınırıdır. Her iki üst sınır da $S$ kümesinin elemanı değildir.
$S:=(0,1]$ kümesinin bütün elemanları $2$ 'den küçüktür. Bu yüzden, $2$ $S$ kümesinin üst sınırıdır ve kümenin elemanı değildir. Ancak, $(0,1]$ kümesinin bütün elemanları $1$ 'den de küçük veya 1'e eşittir. Bu yüzden, $1$ de $S$ kümesinin üst sınırıdır ve 1 kümenin elemanıdır.
$S:=(0,\infty )$ kümesi üstten sınırlı değildir.

Alttan sınırlılık

$S$ deki tüm $s$ değerleri için $k\leq s$ olacak şekilde bir $k$ gerçel sayısı varsa, $S$ kümesine alttan sınırlı ya da aşağıdan sınırlı denir. Tanımdaki $k$ gerçel sayısına ise $S$ nin alt sınırı denir. Örneğin,

$S:=(0,1)$ kümesinin bütün elemanları $-1$ 'den büyüktür. Bu yüzden, $-1$ $S$ kümesinin alt sınırıdır. Ancak, $(0,1)$ kümesinin bütün elemanları $0$ 'dan de büyüktür. Bu yüzden, $0$ da $S$ kümesinin alt sınırıdır. Her iki alt sınır da $S$ kümesinin elemanı değildir.
$S:=[0,1)$ kümesinin bütün elemanları $-1$ 'den büyüktür. Bu yüzden, $-1$ $S$ kümesinin alt sınırıdır ve kümenin elemanı değildir. Ancak, $[0,1)$ kümesinin bütün elemanları $0$ 'dan büyük veya 0'a eşittir. Bu yüzden, $0$ de $S$ kümesinin alt sınırıdır ve 0 kümenin elemanıdır.
$S:=(-\infty ,0)$ kümesi alttan sınırlı değildir.

Sınırlılık

Gerçel sayıların bir altkümesine, eğer bu küme hem alttan hem de üstten sınırlı ise, sınırlı küme denir.

Metrik uzaylarda tanım

$(M,d)$ bir metrik uzay olsun ve $S$ metrik uzayın bir alt kümesi olsun. Eğer $S$ 'deki tüm $s,t$ için $d(s,t)<r$ olacak şekilde bir $r>0$ varsa $S$ kümesi $M$ içinde sınırlıdır. Eğer $M$ kendinin altkümesi olarak sınırlı bir küme ise, $(M,d)$ ye sınırlı metrik uzay ya da $d$ sınırlı metriktir denir.

Tümüyle sınırlı metrik uzaylar aynı zamanda sınırlıdır. $\mathbb {R} ^{n}$ için tümüyle sınırlılık ve sınırlılık birbirine denk kavramlardır.
Bir metrik uzayın tıkız olması için bu uzayın hem tam uzay hem de tümüyle sınırlı uzay olması gerekli ve yeterlidir.^[1]
Öklid uzayı $\mathbb {R} ^{n}$ nin bir altkümesinin tıkızlığı için bu kümenin hem kapalı hem de sınırlı olması gerekir. Bu sonuç, Heine-Borel teoremi olarak bilinir.

Topolojik vektör uzaylarında tanım

Topolojik vektör uzaylarında, sınırlı kümeler için, bazen von Neumann sınırlılığı olarak da adlandırılan, farklı bir tanım vardır. Topolojik vektör uzayının topolojisi, normlu vektör uzaylarının normu tarafından oluşturulan bir metrik durumunda olduğu gibi, homojen olan bir metrik tarafından oluşturuluyorsa o zaman iki tanım aynıdır.

Sıra teorisinde sınırlılık

Gerçel sayıların bir altkümesi, ancak ve ancak bu kümenin bir üst ve alt sınırı varsa sınırlıdır. Bu tanım, kısmî sıralı herhangi bir kümenin alt kümeleri için de alınabilir. Burada not edilmesi gereken, bu daha genel sınırlılık kavramının "boyut" kavramına karşılık gelmediğidir.

S, kısmî sıralı bir P kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer, Sdeki tüm s elemanları için k ≥ s olacak şekilde P 'de bir k varsa, o zaman Sye üstten sınırlı denir. k elemanına Snin üst sınırı denir. Alttan sınırlı ve alt sınır tanımları benzer bir şekilde tanımlanır. (Ayrıca bkz: Üst ve alt sınır)

S, kısmî sıralı bir P kümesinin bir altkümesi olsun. Eğer Snin hem üst hem de alt sınırı varsa, o zaman S sınırlı olarak adlandırılır.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ Zafer Ercan. Topoloji (PDF). ODTÜ Geliştirme Vakfı Yayıncılık. ss. 301-302. ISBN 978-6057744104. Erişim tarihi: 25 Kasım 2024. Teorem 11.5e bakınız

[1] Zafer Ercan. Topoloji (PDF). ODTÜ Geliştirme Vakfı Yayıncılık. ss. 301-302. ISBN 978-6057744104. Erişim tarihi: 25 Kasım 2024. Teorem 11.5e bakınız

[1]