Analitik sayı teorisi

Karmaşık düzlemde Riemann zeta fonksiyonu ζ (s). Bir noktanın rengi s, ζ (s) değerini kodlar: siyaha yakın renkler sıfıra yakın değerleri belirtirken, tonlar değerin bağımsız değişkenini kodlar.

Matematikte analitik sayı teorisi, tam sayılarla ilgili problemleri çözmek için matematiksel analiz yöntemlerini kullanan sayılar teorisinin dalıdır. Dirichlet'in aritmetik ilerlemeler üzerindeki teoreminin ilk kanıtını sunmak için Peter Gustav Lejeune Dirichlet tarafından 1837'de Dirichlet L - fonksiyonlarının tanıtılmasıyla kullanılmaya başlandığı söylenir. Asal sayılar (Asal Sayı Teoremi ve Riemann zeta fonksiyonunu içeren) ve toplam sayı teorisi (Goldbach varsayımı ve Waring problemi gibi) üzerindeki sonuçlarıyla bilinmektedir.

Analitik sayı teorisinin dalları

Analitik sayı teorisi, teknikteki temel farklılıklardan ziyade çözmeye çalıştıkları problemlerin türüne göre bölünerek iki ana bölüme ayrılabilir.

• Çarpımsal sayılar teorisi, bir aralıktaki asal sayıların tahmin edilmesi gibi asal sayıların dağılımı ile ilgilenir. Asal sayı teoremini ve aritmetik ilerlemelerde asal sayılar üzerine Dirichlet teoremini içerir.
• Toplam sayı teorisi, Goldbach'ın 2'den büyük her çift sayının iki asal sayının toplamı olduğu varsayımı gibi tam sayıların toplam yapısıyla ilgilidir. Toplam sayı teorisindeki ana sonuçlardan birisi Waring probleminin çözümüdür.

Kaynakça

Genel

• Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, (Ed.) (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5 
• Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-0-387-95097-6 
• Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, 1974, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7