Квадрат

За другу употребу, погледајте страницу Квадрат (алгебра).

Квадрат

Полупречник описаног и уписаног круга код квадрата

Квадрат је математички појам присутан у геометрији и алгебри. У геометрији је то геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла. Он је правилан четвороугао, паралелограм. Темена се означавају великим словима A, B, C, D, страница малим словом а, дијагонала малим словом d. То је једини правилан многоугао чији су унутрашњи угао, централни угао и спољашњи угао једнаки (90°), а чије су дијагонале једнаке по дужини.

Особине квадрата

Особине квадрата су:

• све странице су једнаке
• сви углови су прави
• дијагонале су једнаке, полове се и секу под правим углом
• дужина дијагонале је $d=a{\sqrt {2}}$
• обим квадрата је $O=4\cdot a$
• површина квадрата је $P=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
• полупречник уписаног круга је $r={\frac {a}{2}}$, а полупречник описаног је $R={\frac {\ {d}}{2}}$

Обим и површина

Површина квадрата је производ дужине његових страница.

Обим квадрата чије четири странице имају дужину $\ell$ је

$P=4\ell$

а површина A је

$A=\ell ^{2}.$

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У класично доба, други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина квадрат да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd према

$A={\frac {d^{2}}{2}}.$

У смислу полупречника круга R, површина квадрата је

$A=2R^{2};$

пошто је површина круга $\pi R^{2},$ квадрат испуњава $2/\pi \approx 0.6366$ његовог описаног круга.

У смислу радијуса r, површина квадрата је

$A=4r^{2};$

стога је површина уписаног круга $\pi /4\approx 0.7854$ површине квадрата.

Пошто је то правилан многоугао, квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра. Заиста, ако су A и P површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа изопериметријска неједнакост:

$16A\leq P^{2}$

са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

Друге чињенице

• Дијагонале квадрата су ${\sqrt {2}}$ (око 1,414) пута дужине странице квадрата. Ова вредност, позната као квадратни корен од 2 или Питагорина константа, била је први број за који је доказано да је ирационалан.
• Квадрат се такође може дефинисати као паралелограм са једнаким дијагоналама које деле углове.
• Ако је фигура правоугаоник (прави углови) и ромб (једнаке дужине ивица), онда је она квадрат.
• Квадрат има већу површину од било ког другог четвороугла са истим обимом.
• Квадратна плочица је једна од три правилне плочице на равни (остале су једнакостранични троугао и правилан шестоугао).
• Квадрат је у две породице политопа у две димензије: хиперкоцка и укрштени политоп. Шлафлијев симбол за квадрат је {4}.
• Квадрат је веома симетричан објекат. Постоје четири линије рефлексијске симетрије и има ротациону симетрију реда 4 (кроз 90°, 180° и 270°). Његова група симетрије је диедрална група  D₄.
• Квадрат се може уписати у било који правилан многоугао. Једини други полигон са овим својством је једнакостранични троугао.
• Ако уписани круг квадрата ABCD има додирне тачке E на AB, F на BC, G на CD, и H на DA, онда за било коју тачку P на уписаној кружници важи,

$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.$

• Ако је $d_{i}$ растојање од произвољне тачке у равни до i-тог темена квадрата и $R$ је полупречник круга квадрата, онда је

${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.$

• Ако су $L$ и $d_{i}$ растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је

$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})$

и

$d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),$

где је $R$ полупречник круга квадрата.

Координате и једначине

$|x|+|y|=2$ приказано на картезијанским координатама.

Координате за темена квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1, ±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (x_i, y_i) са −1 < x_i < 1 и −1 < y_i < 1. Једначина

$\max(x^{2},y^{2})=1$

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „x² или y², које год је веће, једнако је 1.” Полупречник круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је ${\sqrt {2}}.$ Тада описани круг има једначину

$x^{2}+y^{2}=2.$

Алтернативно, једначина

$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.$

такође се може користити за описивање границе квадрата са координатама центра (a, b), и хоризонталним или вертикалним полупречником r. Квадрат је стога облик тополошке лопте према L₁ метрици удаљености.

Види још

• Правоугаоник
• Ромб

Литература

• Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9 
• „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02. 
• „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107. 
• Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199. 
• Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331. 
• Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0. 
• Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86. 
• Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144. Архивирано из оригинала 05. 06. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022. 
• „Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Приступљено 1. 3. 2022. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1. 
• John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Приступљено 1. 3. 2022. <
• Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394. 
• David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), doi:10.1017/mag.2019.54 
• David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23 
• David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35. 
• Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807. 
• Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387. 
• Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (март 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197 . doi:10.4169/000298910X480081. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 11. 11. 2013. г. 
• Franco P. Preparata; Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988. 
• Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. стр. 199. 
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. 

Спољашње везе

• Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Square”. MathWorld. 
• Definition and properties of a square With interactive applet
• Animated applet illustrating the area of a square