Transformimi i Furierit në kohë diskrete

Në analizën e Furierit, Transformimi i Furierit në kohë diskrete (TFKD) (angl: discrete-time Fourier transform (DTFT)) është një nga format e veçanta të analizës së Furierit. Si i tillë, ai transformon një funksion në një funksion tjetër, i cili jep paraqitjen e sinjalit (funksionit) në fushën e frekuencave, ose thjesht "TFKD", të funksionit origjinal (i cili zakonisht është një funksion në fushën kohore). Duhet thënë se TFKD kërkon si input (funksion eksitues) një funksion që është diskret. Sinjale te tilla merren duke marre kampione nga një funksion i vazhdueshëm në kohë, si p.sh. zëri i një personi.

Paraqitja e TFKD-së në fushën e frekuencave është gjithmonë një funksion periodik. Meqenëse një periodë e funksionit përmban të gjithë informacionin unik të funksionit, zakonisht thuhet se TFKD-ja është transformimi tek një fushe frekuencash e cila është e fundme (me gjatësinë e një periode), në krahasim me të gjithë vijën reale.

Përcaktimi

Po te kemi nje bashkesi diskrete te numrave reale ose komplekese : $x[n],\;n\in \mathbb {Z}$ (numra të plotë), transformimi i Furierit në kohë diskrete (ose TFKD) i $x[n]\,$ zakonisht shkruhet si:

$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$

Transformimi invers

Transformimi i meposhtem jep nje sekeuence diskrete ne kohe:

$x[n]\,$	$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X(\omega )\cdot e^{i\omega n}\,d\omega$
	$=T\int _{-{\frac {1}{2T}}}^{\frac {1}{2T}}X_{T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df.$

Integrali eshte mbi nje periode te plote te TFKD, e cila do te thote se kampionet nga x[n] jane ne te njejten kohe koeficentet e zgjerimit të serisë së Furierit te TFKD.   Limitet infinite te integrimit ndryshojne transformimin ne tarnsformimin e Furierit me vazhdimësi kohore, [inversi], i se ciles prodhon nje sekuence impulsesh Diraku. Pra:

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }X_{T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ e^{-i2\pi fTn}\right)\cdot e^{i2\pi ft}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fTn}\cdot e^{i2\pi ft}\,df\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{aligned}}$

Diferenca midis TFKD dhe transformimeve të tjera të Furierit

TFKD eshte e kuderta e serive te Furierit, per vete faktin se kjo e fundit ka nje input periodik te vazhdueshem dhe nje spekter diskret. Aplikimet e dy transformimeve jane shume te ndryshme megjithate. TDF dhe TFKD mund te shikohen si rezultatet logjike te aplikimit te transformimit standart te Furierit tek bashkesite me informacione diskrete.

Tabele e transformimeve te Furierit në kohë diskrete

Disa çifte transformimesh te zakonshme jepen me poshte. Notacioni i meposhtem aplikohet :

• $n\!$ eshte nje numer i plote qe paraqet fushen kohore diskrete (kampionet e sinjalit)
• $\omega \!$ eshte nje numer real ne $(-\pi ,\ \pi )$, qe paraqet frekuencen e vazhdueshme kohore (ne radian per kampion).
  • Pjesa e transformimit qe ngelet $(|\omega |>\pi \,)$ jepet nga : $X(\omega +2\pi k)=X(\omega )\,$
• $u[n]\!$ eshte Funksioni shkallë njësi
• $\operatorname {sinc} (t)\!$ eshte Funksioni sink i normalizuar
• $\delta (\omega )\!$ është Funksioni delta i Dirakut
• $\delta [n]\!$ eshte Delta e Kronëkerit $\delta _{n,0}\!$
• $\operatorname {rect} (t)$ është Funksioni drejtkëndësh për një vlerë reale arbitrare t:

$\mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

• $\operatorname {tri} (t)$ eshte funksioni trekëndësh per një vlere reale arbitrare t:

$\operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1+t;&-1\leq t\leq 0\\1-t;&0<t\leq 1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

Fusha kohore $x[n]\,$	Fusha e frekuencave $X(\omega )\,$	Shënime
$\delta [n]\!$	$1\!$
$\delta [n-M]\!$	$e^{-i\omega M}\!$	numer i plote M
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\,$	$\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {1}{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {\omega }{2\pi }}-{\frac {k}{M}}\right)\,$	numer i plote M
$u[n]\!$	${\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}\!$
$e^{-ian}\!$	$2\pi \delta (\omega +a)\,$	numer real a
$\cos(an)\!$	$\pi \left[\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right]$	numer real a
$\sin(an)\!$	${\frac {\pi }{i}}\left[\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)\right]$	numer real a
$\mathrm {rect} \left[{(n-M/2) \over M}\right]$	${\sin[\omega (M+1)/2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M/2}$	numer i plote M
$\operatorname {sinc} [(a+n)]$	$e^{ia\omega }\!$	numer real a
$W\cdot \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$	$\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$	numer real W $0<W\leq 0.5$
$W\cdot \operatorname {sinc} [W(n+a)]$	$\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)\cdot e^{ja\omega }$	numer real W, a $0<W\leq 1$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}$	$j\omega$	punon si nje filtër diferencues
${\frac {W}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$	$j\omega \cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$	numra reale W, a $0<W\leq 1$
${\frac {1}{\pi n^{2}}}[(-1)^{n}-1]$	$|\omega |\!$
${\begin{cases}0;&n{\mbox{ odd}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\mbox{ even}}\end{cases}}$	${\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$	Transformimi i Hilbertit
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$		Numra realë A, B complex C

Vetitë

Kjo tabelë tregon marrëdheniet midis transformimeve të përgjithshme të Furierit në kohë diskrete. Në këtë artikull po përdorim notacionin e mëposhtëm:

• $*\!$ është konvulimi midis dy sinjaleve
• $x[n]^{*}\!$ është numri kompleks i konjuguar i funksionit x[n]
• $\rho _{xy}[n]\!$ paraqet korrelacionin midis x[n] dhe y[n].

Kolona e pare paraqet nje përshkrim të vetisë, kolona e dytë tregon funksionin në fushën kohore, dhe kolona e tretë tregon spektrin në fushën e frekuencave:

Vetitë	Fusha kohore $x[n]\!$	Fusha e frekuencave $X(\omega )\!$	Shënime
Lineariteti	$ax[n]+by[n]\!$	$aX(e^{i\omega })+bY(e^{i\omega })\!$
Zhvendosja në kohë	$x[n-k]\!$	$X(e^{i\omega })e^{-i\omega k}\!$	numer i plote k
Zhvendosja në frekuencë (modulimi)	$x[n]e^{ian}\!$	$X(e^{i(\omega -a)})\!$	numer real a
Pasqyrimi kohor	$x[-n]\!$	$X(e^{-i\omega })\!$
Konjugimi kohor	$x[n]^{*}\!$	$X(e^{-i\omega })^{*}\!$
Pasqyrimi kohor & konjugimi	$x[-n]^{*}\!$	$X(e^{i\omega })^{*}\!$
Derivati në frekuencë	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX(e^{i\omega })}{d\omega }}\!$
Integrali në frekuencë	${\frac {i}{n}}x[n]\!$	$\int _{-\pi }^{\omega }X(e^{i\vartheta })d\vartheta \!$
Konvulimi në kohë	$x[n]*y[n]\!$	$X(e^{i\omega })\cdot Y(e^{i\omega })\!$
Shumëzimi në kohë	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}X(e^{i\omega })*Y(e^{i\omega })\!$
Korrelacioni	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X(e^{i\omega })^{*}\cdot Y(e^{i\omega })\!$

Vetitë simetrike

Transformimi i Furierit mund të dekompozohet në pjesën reale dhe imagjinare ose në pjesë çift dhe tek.
$X(e^{i\omega })=X_{R}(e^{i\omega })+iX_{I}(e^{i\omega })\!$
ose
$X(e^{i\omega })=X_{E}(e^{i\omega })+X_{O}(e^{i\omega })\!$

Fusha kohore $x[n]\!$	Fusha e frekuencave $X(e^{i\omega })\!$
$x^{*}[n]\!$	$X^{*}(e^{-i\omega })\!$
$x^{*}[-n]\!$	$X^{*}(e^{i\omega })\!$

Shih edhe

• Transformimi i Furierit
• FFT

Referime

• Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing (bot. i dytë). Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• William McC. Siebert (1986). Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• Boaz Porat (1997). A Course in Digital Signal Processing. John Wiley and Sons. fq. 27-29 and 104-105. ISBN 0-471-14961-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)