Problemi i Apollonit

Rrethi i Apollonit është një nga disa lloje të rrathëve që lidhen me Apollonius e Perga, një gjeometër i njohur grek. Shumica e këtyre rrathëve janë gjetur në gjeometrinë Euklidiane, por analogjet janë përcaktuar në sipërfaqe të tjera, për shembull, homologët në sipërfaqen e një sfere mund të përcaktohen përmes projeksionit stereografik.

Përdorimet kryesore të këtij termi janë pesëfish:

• Apoloni tregoi se një rreth mund të përkufizohet si grup i pikave në një rrafsh që kanë një raport të caktuar të distancave në dy pika fikse të njohura si vatra. Ky rreth i Apollonit është baza e problemit të Apollonit.
• Rrathët e Apollonit janë dy familjet e rrathëve reciprokisht ortogonal. Familja e parë përbëhet nga rrathët me të gjitha raportet e mundshme në distancë deri në dy vatrat fikse, ndërsa familja e dytë përbëhet nga të gjithë rrathët e mundshëm që kalojnë nëpër dy vatrat. Këta rrathë formojnë bazën e koordinatave bipolare.
• Problemi i Apollonit është për të konstruktuar rrathë që në të njëjtën kohë janë tangjent me tre rrathë tjerë të caktuar. Zgjidhjet për këtë problem janë quajtur ndonjëherë edhe "Rrathët e Apollonit".
• Pikat isodynamic dhe linjë Lemoine të një trekëndëshi mund të zgjidhen duke përdorur tre rrathë, secili prej tyre kalon nëpër një kulm të trekëndëshit dhe mban një raport të vazhdueshëm të distancave me dy të tjerët.

Definimi i Apollonit për rrethin

Figura 1. Definimi i Apollonit për rrethin

Një rreth zakonisht përkufizohet si grup i pikave P në një distancë të caktuar r(rreze e rrethit e) nga një pikë e caktuar (qendra e rrethit). Megjithatë, ka të tjera, përkufizime ekuivalente për rrethin. Apolloni zbuloi se një rreth mund të përkufizohet edhe si grup i pikave P që kanë një raport të caktuar të distancave k = D₁ / D₂ në dy pika të caktuara (etiketuar A dhe B ). Këto dy pika janë quajtur nganjëherë edhe vatra.

Problemi i përndjekjes

Problemi i përndjekjes së Apollonit ka të bëjë me problemin që një anije e lë një vend të shënuar si pika A me një shpejtësi v₁ dhe do të ndërpresë një anije tjetër dhe aty do të lërë një pikë tjetër B dhe vazhdon me një shpejtësi v₂. Me supozimin se linjat udhëtojnë në linjë të drejtë dhe raporti i shpejtësive shprehet si k=v₁/v₂.Në pikën ku ata janë takuar anija e parë do të ketë udhëtuar k-herë distancë më të madhe se anija e dytë. Kështu pika duhet të shtrihet në një rreth me pika startuese si fokus.

Rrathët që ndahen me një bosht radikal

Figura 2. Një grup i rrathëve të Apollonit.

Rrathët e përcaktuar nga problemi i përndjekjes së Apollonit për dy pika të njëjta A dhe B, por duke ndryshuar raportin e të dy shpejtësive të ndryshme, janë të veçuara nga njëra-tjetra dhe formojnë një familje të vazhdueshme që të mbulojë të gjithë planin; kjo familje e rrathëve është e njohur si lapsi hiperbolik. Një tjetër familje e rrathëve, rrathët që kalojnë nëpër dy pika A dhe B, janë quajtur edhe laps, ose më saktë lapsi eliptik. Këto dy lapsa të Apollonit ndërpresin njëri-tjetrin nën kënd të drejtë dhe formojnë bazën e sistemit koordinativ bipolar. Brenda çdo lapsi, çdo dy rrathë kanë të njëjtin bosht radikal; dy boshtet radikale të dy lapsave janë normal dhe qendrat e rrathëve nga një laps shtrihen në boshtin radikal të lapsit tjetër.

Zgjidhjet e problemit të Apollonit

Problemi i Apollonit mund t'i ketë deri në tetë zgjidhje. Tri rrathët e dhënë janë të treguar në të zezë, ndërsa të tjerat janë të ngjyrosura.

Në gjeometrinë Euklidiane, problemi Apollonit është për të ndërtuar rrathët që janë tangjent në tre rrathët e dhënë . Tre rrathët e dhënë kanë në pëgjithësi 8 rrathë të ndryshëm që janë tangjent në ta dhe çdo zgjidhje përmbyll ose përjashton tre rrathët e dhënë në një rrugë tjetër:në secilën zgjidhje një nënbashkësi e tre rrathëve përmbyllet.

Pikat izodinamike të një trekëndëshi

Duke zgjidhur problemin e Apollonit në mënyrë të përsëritur pë të gjetur rrethin e brendashkruar.Interstices ndërmjet rrathëve reciprokisht tangjencial mund të mbushen në mënyrë arbitrare. Rrathët e Apollonit mund të përdoren si term teknik për të shënuar tre rrathët special ${\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},{\mathcal {C}}_{3}$ të trekëndëshit me kulme $\mathrm {A_{1}A_{2}A_{3}}$. Rrethi ${\mathcal {C}}_{1}$ merret si unik i cili kalon nëpër lartësinë e trekëndëshit $\mathrm {A_{1}}$ me rreze konstante nga lartësitë e tjera.Ngjashëm vlen edhe për dy rrathët tjerë.Të tre rrathët e ndërpresin rrethin e brendashkruar të trekëndëshit ortogonal.Të tre rrathët kalojnë nëpër dy pika të shënuara me S dhe S` të trekëndëshit.Drejtëza që i bashkon këto pika ndërprerëse të përbashkëta quhet boshti radikal i tre rrathëve.Pikat ndërprerëse janë inverze ndaj njëra tjetrës brenda rrethit të brendashkruar të trekëndëshit.Qendrat e këtyre tre rrathëve shtrihen në një drejtëz.Kjo drejtëz është normale në boshtin radikal.