Kriteri i Routh-it

Hyrje

Kriteri i Routh-it është metodë, e cila mundëson gjetjen e lokacionit të poleve të sistemit, pa gjetur rrënjët e ekuaconit karakteristik. Pra është metodë e shqyrtimit të stabilitetit absolut të sistemit. Është metodë algjebrike, e cila në mënyrë relativisht të shpejtë na shpie deri tek rezultatet mbi stabilitetin e sistemit të çfardo rendi. Rezultet e fituara tregojnë vetëm nëse sistemi është stabil apo jo dhe sa pole ka në regionin jostabil të rrafshit kompleks, por nuk tregojnë asgjë për stabilitetin relativ të sistemit dhe ndikim e parametrave të sistemit në stabilitet. Përgjigjet e fituara janë të karakterit plotësisht të njejtë me ato që fitohen nga kriteri i Hurwitz-it por llogaritjet (sidomos për sisteme të rendeve të larta) kryhen shumë të lehtë.

Përkufizimi formal

Supozojmë se është i njohur ekuacioni karakteristik, që përshkruan një sistem të rendi të $n$-të:

$a_{n}s^{2}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots +a_{1}a+a_{0}=0$

Kondita e nevojshme që të mund të aplikojmë kriterin e Routh-it është që të gjithë koeficientët e ekuacionit paraprak të kenë parashenjë të njejtë. Përgjigja mbi stabilitetin e sistemit nxirret duke formuar tabelën e Routh-it :

$a_{n}$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$a_{n-6}$	$\dots$
$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$a_{n-7}$	$\dots$
$b_{1}$	$b_{3}$	$b_{5}$	$b_{7}$	$\dots$
$c_{1}$	$c_{3}$	$c_{5}$	$c_{7}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

Pra shohim se rreshti i parë formohet duke filluar nga elementi i parë dhe çdo i dyti. Edhe rreshti i dyte formohet ngjajshëm por duke filluar nga elementi i dytë. Kurse elementët tjerë të tabelës llogariten sipas shprehjeve:

• $b_{1}={\frac {a_{n-1}a_{n-2}-a_{n}a_{n-1}}{a_{n-1}}}$
• $b_{2}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}-a_{n}a_{n-4}}{a_{n-1}}}$

ngjajshëm llogariten edhe elementet tjera:

• $c_{1}={\frac {b_{1}a_{n-3}-a_{n-1}b_{3}}{b_{1}}}$
• $c_{3}={\frac {b_{1}a_{n-5}-a_{n-1}b_{5}}{b_{1}}}$

Konditë e mjaftueshme që sistemi i përshkruar me ekuacionin e mësipërm të jetë stabil është që të gjithë elementet e shtyllës së parë të tabelës se Routh-it të kenë parashenjën e njejtë. Në rastin e tillë konkludojmë se sistemi është stabil. Kur kemi ndërrim të shenjës, atëherë sistëmi është jostabil dhe numri i ndërrimit të shenjës tregon edhe numrin e poleve që gjendën në regjionin jostabil.

Shembull

Ta shqyrtojmë sistemin, ekuacioni karakteristik i të cilit është:

$2s^{4}+s^{3}+3s^{2}+5s+10=0$

Shohim se të gjithë koeficientët kanë parashenjën e njejtë, pra plotësohet kondita e nevojshme andanj mund të formojmë tabelën ë Routh-it e cila do ketë formën:

$2$	$3$	$10$
$1$	$5$	$0$
$-7$	$10$	$0$
$6.43$	$0$	$0$
$10$	$0$	$0$

Pra shohim se në kolonën e parë kemi dy ndërrime të shenjës andaj sistemi është jostabil dhe ka dy pole në regjionin jostabil. Kurse nuk fitojmë kurrfarë informacioni mbi atë se sa stabil është sistemi apo si do ndikojë ndryshimi i ndonjë parametri në stabilitetin e sistemit. Të gjitha përparësitë dhe mangësitë e cekura tek kriteri i Hurwitz-it vlejnë edhe për kriterin e Routh-it.

Rastet kur tabulimi i Routh-it përfundon para kohe

Gjatë formimit të tabelës se Routh-it mund të paraqiten disa komplikime të cilat pamundësojnë llogaritjet e mëtutjeshme dhe që të arrihet përgjigje mbi stabilitetin e sistemit duhet disi të tejkalohen këto situata.

Dallojmë rastet:

Ndonjë nga elementet e kolonës së parë është zero

Llogaritja e mëtutjeshme nuk mund të vazhdohen sepse do paraqitet pjestimi me zero. Gjendja mund të tejkalohet duhet ndermarre njërin nga veprimet:

• Zëvëndësohet zero me $\varepsilon$ të tillë që $\varepsilon \rightarrow 0$ dhe vazhdohet llogaritja e mëtutjeshme. Më pas, shenja e antarëve të kolonës së parë bëhet duke kaluar më limit mbi ta.
• Zëvëndësohet $s={\frac {1}{x}}$ dhe llogaritja vazhdon në menyrë ta zakonshmë për variablën $x$.
• Ekuacionin karakteristik e shumëzojmë më $(s+1)$ dhe pastaj aplikojmë procedurën e zakonshme.

Rreshti i tërë është zero

Edhe tek ky rast llogaritja e mëtutjeshmë pamundësohet për të njejtën arsye dhe zakonisht rasti i tillë është indikator që:

• ekuacioni ka së paku një çift të rrënjëve reale me vlerë absolute të njejtë por shënjë të kundërt
• ekucaioni ka së paku një çift të rrënjëve imagjinare
• ekuacioni ka çifte të rrënjëve të konjuguara që janë simetrike ndaj origjinës së rrafshit kompleks.

Situata e tillë tejkalohet me ndihëm e ekuacionit ndihmës. Që të mund të vazhdojmë tabulimin duhet ndërmarrë hapat:

• Formohet ekucaioni ndihmës $A(s)=0$ nga koeficientët e rreshtit paraprak në menyrë të tillë që $s$ është vetëm fuqi çifte
• Gjejmë derivatin ${\frac {dA(s)}{ds}}=0$
• Derivati i fituar zëvëndëson rreshtin me elemente zero dhe vazhdon llogaritja e mëtutjeshme.

është më rëndësi të theksojmë se rrënjët e ekuacionit ndihmës poashtu arsyetojnë ekuacionin karakterstik të sistemit, andaj gjatë shqyrtimit të ndërrimit të shenjës, duhet marrë paraqysh edhe këto rrënjë.

Shiko Gjithashtu

• Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
• Kriteri i Hurwitz-it
• Kriteri i Mihajllovit për stabilitet
• Kriteri i Nyquist-it për stabilitet