Ekuacioni Klein-Gordon

Në fizikë Ekuacioni Klein–Gordon (ose ekuacioni Klein–Fock–Gordon ) është një version relativist i ekuacionit i Shrodingerit.

Ai është ekuacioni i lëvizjes së një fushe kuantike skalare ose pseudoskalare, një fushë, kuantet e të cilës nuk kanë spin. Për një gjendje kuantike ky ekuacion nuk mund të interpretohet direkt si ekuacioni i Shrodingerit, sepse është një ekuacion i rendit të dyte në lidhje me kohën si dhe për shkakun se nuk pranon një densitet probabilistik të konservuar me një vlere pozitive të përcaktuar. Megjithatë me interpretimin e duhur, ekuacioni përshkruan amplitudën kuantike për gjetjen e një pike thërrmije në vende të ndryshme, nëpërmjet funksionit valor relativistik, por në këtë rast ekuacioni thotë se thërrmija mund te lëvizë para ose prapa në kohë.

Forma e ekuacionit

Ekuacioni Klein–Gordon ka formen

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial t)^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

Derivimi

Ekuacioni jo-relativistik për energjinë e një thërrmije të lirë është

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.$

Duke e kuantizuar këtë, marrim ekuacionin jo-relativistik të Shrodingerit për një thërrmijë të lirë,

${\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi$

ku

$\mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla }$

është operatori i impulsit ($\nabla$ është operatori del).

Ekuacioni i Shrodingerit vuan nga fakti se nuk është kovariant nga pikëpamja relativistike, pra nuk merr parasysh relativitein special të Ajnshtajnit.

Eshtë e natyrshme të përdorim identitetin nga relativiteti special

${\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E$

për energjinë; pra, duke futur operatorin kuantik të vrullit (impulsit), marrim ekuacionin

${\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi .$

Kjo, është një shprehje shumë e vështirë për tu punuar me për shkak të rrenjes katrore. Për më teper, ky ekuacion, sic është, ka formë jolokale.

Klein dhe Gordoni filluan me katrorin e identitetit te mesiperm, pra.

$\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2}$

i cili kur kuantizohet jep

$((-i\hbar \mathbf {\nabla } )^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})\psi =(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}})^{2}\psi$

e cila thjeshtohet te

$-\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial t)^{2}}}\psi .$

Duke rirregulluar termat kemi

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial t)^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

Meqense te gjitha referencat e numrave imagjinare jane eliminuar nga ky ekuacion, ajo mund te aplikohet tek fusha te cilat kane vlera reale si dhe te ato qe kane vlera komplekse.

Duke perdorun te anasjellten e metrikes se Minkovskit ${\text{diag}}(-c^{2},1,1,1)$, marrim

$-\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0$

në notacionin kovariant. Kjo shpesh shkurtohet si

$(\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0,$

ku

$\mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,$

dhe

$\Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.\,$

Ky operator quhet operatori i d'Alembertit. Sot kjo formë interpretohet si ekuacioni relativist i fushës për një thërrmijë skalare (pra. me spin-0) .

Shiko gjithashtu

• Ekuacioni i Dirakut
• Teoria kuantike e fushes
• Teoria skalare e fushes
• Aspektet matematike te ekuacionit te Klein-Gordon diskutohen tek Dispersive PDE Wiki.

Referime

• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• Davydov, A.S. (1976). Quantum Mechanics, 2nd Edition. Pergamon. ISBN 0-08-020437-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

Lidhje te jashtme

• Linear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

• Nonlinear Klein-Gordon Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• generalizing the Klein-Gordon equation to include a generalized space