Algebra z deljenjem

Algebra z deljenjem je v abstraktni algebri algebra nad obsegom v kateri je možno tudi deljenje. To lahko povemo tudi, da je algebra z deljenjem vektorski prostor v katerem lahko množimo in delimo.

Definicija

Predpostavimo, da je algebra $D\,$ algebra nad obsegom in da nima ničelnega elementa. Algebra $D\,$ je algebra z deljenjem, če za katerikoli element $a\,$ v $D\,$ in element $b\,$, ki je tudi v$D\,$, obstoja točno samo en element $x\,$ v $D\,$ tako, da velja $a=bx\,$, in točno en element $y\,$ v $D\,$, tako, da je $a=yb\,$.

Za asociativne algebre lahko to definicijo poenostavimo na naslednji način: asociativna algebra je algebra z deljenjem samo, če in samo če ima nevtralni element $1\neq 0\,$ in vsak neničelen element ima multiplikativni obratni element to je element $x\,$ za katerega velja $ax=xa=1\,$.

Zgledi

Najbolj znan zgled asociativne algebre z deljenjem so končnorazsežna realna števila. To je algebra nad obsegom $\mathbb {R} \,$ realnih števil, ki je končnorazsežen kot vektorski prostor nad realnimi števili. Frobeniusov izrek trdi, da so glede na morfizem štiri takšne algebre: realna števila (razsežnost 1), kompleksna števila (razsežnost 2), kvaternioni (razsežnost 4) ter oktonioni (razsežnost 8).

Zunanje povezave

• Algebra z deljenjem na MathWorld (angleško)
• Algebra z deljenjem Arhivirano 2011-01-23 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Algebra z deljenjem na SpringerLink (angleško)