Teória chaosu

Teória chaosu je časť matematiky a fyziky, ktorá sa zaoberá systémami, ktorých dynamika za určitých podmienok citlivo závisí od začiatočných podmienok, takže ich správanie nie je dlhodobo predpovedateľné.

Teória chaosu sa zaoberá chovaním istých nelineárnych dynamických systémov, ktoré za istých podmienok vykazujú jav známy ako chaos, najvýznamnejšie charakterizovaný citlivosťou počiatočných podmienok (motýlí efekt). V dôsledku tejto citlivosti sa chovanie týchto fyzikálnych systémov javí ako náhodné, aj keď model systému je deterministický v tom zmysle, že je dobre definovaný a neobsahuje žiadne náhodné parametre. Príklady takýchto systémov zahŕňajú atmosféru, solárny systém, platňovú tektoniku, turbulenciu tekutín a plynov, atď.

Systémy, ktoré vykazujú matematický chaos, sú v istom zmysle zložito usporiadané. Tým je význam slova v matematike a fyzike v istom nesúlade s obvyklým chápaním slova chaos ako totálneho neporiadku.

Základy teórie

Nelineárny dynamický systém môže obecne vykazovať jeden z nasledujúcich typov chovania :

vždy v pokoji
vždy expandujúci (len pre neobmedzené systémy)
periodický pohyb
kvazi-periodický pohyb
chaotický pohyb

Typ chovania, aký systém môže vykazovať, závisí na počiatočnom stavu systému a hodnotách jeho parametrov, ak nejaké existujú. Najzložitejším typom chovania je chaotický pohyb, neperiodický zložitý pohyb, ktorý dal meno tejto teórii.

Chaotický pohyb

Aby sme mohli klasifikovať chovanie systému ako chaotické musí systém vykazovať nasledujúce vlastnosti:

musí byť citlivý na počiatočné podmienky
musí byť topologicky tranzitívny
jeho periodické orbity musia byť husté

Citlivosť k počiatočným podmienkam znamená, že dve blízke trajektórie vo fázovom priestore sa s rastúcim časom rozbiehajú (exponenciálne). Inak povedané, malá zmena v počiatočných podmienkach vedie po čase k veľmi odlišnému výsledku. Systém sa chová identicky iba keď jeho počiatočná konfigurácia je úplne rovnaká. Príkladom takejto citlivosti je tzv. motýli efekt, kedy mávnutie motýlích krídiel vyvolá len nepatrné zmeny v atmosfére, ktorá ale v priebehu času môže viesť až k tak dramatickým zmenám ako je výskyt tornád. Mávnutie krídiel motýľa predstavuje malú zmenu počiatočných podmienok systému, ktorá ale spôsobí reťaz udalostí vedúci k rozsiahlym javom, ako sú tornáda. Keby motýľ nemávol krídlami, trajektória systému by mohla byť úplne iná.

Citlivosť k počiatočným podmienkam sa dá kvantifikovať Ljapunovým exponentom

Tranzitivita znamená, že aplikácie transformácie na ľubovoľný daný interval $I_{1}$ ho rozťahuje až do doby, kedy prekryje ľubovoľný ďalší daný interval $I_{2}$ .

Tranzitivita, husté periodické body a citlivosť na počiatočných podmienkach sa dajú rozšíriť na ľubovoľný metrický priestor. J. Banks a jeho kolegovia ukázali v roku 1992, že v nastaveniach obecného metrického priestoru tranzitivita a zároveň husté periodické body implikujú citlivosť na počiatočných podmienkach.

Atraktory

Jedným spôsobom vizualizácie chaotického pohybu, alebo naozaj ľubovoľného typu pohybu, je vytvorenie fázového diagramu pohybu. V takomto diagrame je čas implicitný a každá os reprezentuje jednu dimenziu stavu. Napríklad niekto kreslí pozíciu kyvadla voči jeho rýchlosti. Kyvadlo v pokoji bude zobrazené ako bod a kyvadlo v periodickom pohybu bude nakreslený ako jednoduchá uzavretá krivka. Keď takýto graf vytvára uzavretú krivku, krivka sa nazýva orbita.

Často je na fázových diagramoch vidieť, že väčšina stavových trajektórií sa približuje a obmotáva nejakú obecnú limitu. Systém končí v rovnakom pohybe pre všetky počiatočné stavy v oblasti okolo tohto pohybu, takmer ako by bol systém k tomuto pohybu (trajektórii fázového priestoru) priťahovaný (angl. attracted). Tento „cieľový“ pohyb je teda prípadne nazývaný atraktor systému a je veľmi častý pre nútené disipativne systémy.

Napr. ak pripojíme ku kyvadlu tlmič, bez ohľadu na jeho počiatočnú pozíciu a rýchlosť sa bude blížiť k pokojovému stavu – alebo presnejšie – dosiahne ho v limite. Trajektórie vo fázovom diagrame budú všetky špirály, smerujúce ku stredu a nebudú už tvoriť množinu oválov. Tento bod v strede – stav, kedy je kyvadlo v pokoji sa nazýva atraktor.

Takýto atraktor môžeme nazývať bodovým atraktorom. Nie všetky atraktory sú bodové. Niektoré sú jednoduchými slučkami, alebo zložitejšími dvojitými slučkami. A niektoré sú skutočnými fraktálmi: to sú tzv. podivné atraktory. Systémy s atraktormi v tvare slučky vykazujú periodický pohyb. Systémy so zložitejšími rozdelenými slučkami vykazujú kvaziperiodický pohyb. A systémy s podivnými atraktormi vykazujú chaotické chovanie.

V ľubovoľnom bode fázového diagramu sa stav systému mení určitým deterministickým spôsobom. Ak je naše kyvadlo v danej pozícií a putuje s danou rýchlosťou, môžeme spočítať v akej ďalšej pozícii kyvadlo bude a s akou rýchlosťou sa bude pohybovať. Môžeme sa teda pozerať na náš diagram ako na vektorové pole, a použiť vektorový počet, aby sme mu porozumeli.

Podivné atraktory

Zatiaľ čo väčšina typov pohybov zmienených vyššie poskytuje veľmi jednoduché atraktory, ako sú body alebo kruhové krivky nazývané limitné cykly, chaotický pohyb vedie k tomu čo je známe ako podivný atraktor, čo sú vlastne atraktory s veľkolepými detailmi a veľkou zložitosťou.

Napríklad jednoduchý trojdimenzionálny model Edwarda Lorenza vedie ku slávnemu Lorenzovmu atraktoru. Lorenzov atraktor je jeden z najznámejších diagramov chaotických systémov, pretože nielen, že bol jeden z prvých opísaný, ale zároveň je jeden z najzložitejších. Vznikajú v ňom veľmi zaujímavé obrazce, ktoré vyzerajú ako motýlie krídla. Iným takýmto atraktorom je Rösslerovo zobrazenie, ktoré vykazuje dvojperiodickú cestu k chaosu podobne ako logistické zobrazenie.

Podivné atraktory sa objavujú ako v spojitých dynamických systémoch (ako je ten Lorenzov systém), tak i v niektorých diskrétnych systémoch (ako je Hénonovo zobrazenie). Iné diskrétne dynamické systémy majú odpudzujúcu štruktúru nazývanú Juliova množina, ktorá tvorí hranice medzi oblasťami príťažlivosti pevných bodov. Podivné aktraktory aj Juliove množiny majú typicky fraktálnu štruktúru.

Poincaré-Bendixsonova veta ukazuje, že podivný atraktor môže v spojitom dynamickom systéme vzniknúť len vtedy, ak má tri alebo viac rozmerov. Ale žiadne takéto obmedzenie neplatí pre diskrétne systémy, ktoré vykazujú podivné atraktory v dvoch alebo v jedno-dimenzionálnych systémoch.

História

Korene teórie chaosu je možné datovať k roku 1900, v štúdiách Henriho Poincarého o probléme pohybu 3 objektov so vzájomnou gravitačnou silou tzv. problému troch telies. Poincaré objavil, že môžu existovať orbity, ktoré sú neperiodické, a ktoré nie sú ani neustále vzrastajúce ani sa neblížia k pevnému bodu. Neskoršie štúdie, tiež na tému nelineárnych diferenciálnych rovníc realizoval G. D. Birkhoff, A. N. Kolmogorov, M. L. Cartwright, J. E. Littlewood a Stephen Smale.

Okrem Smaleho, ktorý snáď ako prvý čistý matematik študoval nelineárnu dynamiku, boli všetky tieto štúdie priamo inšpirované fyzikou: problém troch telies v prípade Birkhoffa, turbulencie a astronomické problémy v prípade Kolmogorova a rádiotechnika v prípade Cartwright a Littlewooda.

Napriek tomu, že chaotický pohyb planét nebol pozorovaný, experimentátori narazili na turbulenciu v pohybe kvapalín a neperiodické kmity v rádiových obvodoch, bez podpory teórie, ktorá by vysvetlila ich pozorovania.

Teória chaosu rýchlo postupovala vpred v druhej polovici minulého storočia, kedy sa niektorým vedcom už bolo zrejmé, že lineárne teórie, prevažujúce teórie systémov v tomto období, proste nemôžu vysvetliť pozorované chovanie v určitých experimentoch ako sú logistické mapy. Hlavným katalyzátorom vývoja teórie chaosu bol elektronický počítač. Väčšina matematických teórií chaosu obsahuje jednoduché opakované iterácie, ktorých rozvoj je nepraktické skúšať ručne. Počítače výskum takýchto systémov veľmi uľahčujú. Jeden z prvých elektronických počítačov ENIAC bol použitý na štúdium jednoduchých modelov predpovedí počasia.

Jedným z prvých pionierov tejto teórie bol Edward Lorenz. Jeho záujem o chaos vznikol náhodne počas jeho práce na predpovedi počasia v roku 1961. Lorenz použil počítač Royal McBee LPG-30 na výpočet svojho modelu simulujúceho počasie. Chcel vidieť opäť svoju sekvenciu a aby ušetril čas, začal simulovať zo stredu. Mal totiž vytlačené dáta z minulej simulácie a tak ich zadal ako vstupné dáta do svojho modelu.

Na jeho prekvapenie bolo predpovedané počasie úplne iné než na jeho pôvodnom modeli. Lorenz skúmal, prečo tomu tak je, a príčinu objavil vo svojej zostave. Zostava zaokrúhľovala premenné na 3 desatinné miesta, zatiaľ čo počítač pracoval s 5 desatinnými miestami. Tento rozdiel je malý a nemal by mať prakticky vplyv na riešenie. Ale Lorenz objavil, že malé zmeny v počiatočných podmienkach vedú k veľkým zmenám na výstupe z dlhodobého hľadiska.

Pojem chaos v zmysle, v akom sa používa v matematike, vytvoril James A. York, ktorý sa venoval aplikovanej matematike.

Moorov zákon a dostupnosť lacnejších počítačov rozšírila možnosť skúmania teórie chaosu. V súčasnej dobe pokračuje veľmi aktívne skúmanie tejto teórie.

Pozri aj

Externé odkazy

http://chaosbook.org/
Chaos Theory and Education Archivované 2007-04-05 na Wayback Machine
Chaos Theory: A Brief Introduction Archivované 2013-08-05 na Wayback Machine
Linear and Nonlinear Dynamics and Vibrations Laboratory at the University of Illinois Archivované 2005-12-15 na Wayback Machine
The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals.
Chaos Theory in the Social Sciences, edited by L Douglas Kiel, Euel W Elliott.
Emergence of Chaos