Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica

Obyčajná lineárna diferenciálna rovnica $n$-tého rádu je rovnica tvaru

$y^{(n)}(x)+a_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}(x)y'(x)+a_{n}(x)y(x)=f(x),\!$

kde funkcie $a_{i},\ i=1,2,\dots ,n;\ f$ sú zadané. Špeciálnym prípadom takej rovnice je lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR). Ľavá strana tejto diferenciálnej rovnice sa zvykne značiť takto

$(L_{n}y)(x),$

a priradenie $y\mapsto L_{n}y$ voláme lineárny diferenciálny operátor n-tého rádu. V prípade, že $f=0$ hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici.

Homogénna lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami

Ide o rovnicu

$y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=0,\!$

ktorej koeficienty sú konštanty. Už Euler si všimol, že exponenciálna funkcia $x\mapsto e^{rx}$ s vhodným $r$ je riešením tejto rovnice. Dosadením do rovnice dostaneme podmienku na číslo $r$, ktorú voláme charakteristická rovnica

$r^{n}+a_{1}r^{n-1}+a_{2}r^{n-2}+\dots +a_{n-1}r+a_{n}=0,\!$

čo je algebrická rovnica stupňa $n$, ktorá má podľa základnej vety algebry práve $n$ koreňov ak počítame aj ich násobnosť. Rozoznávame dva prípady:

• ak sú korene $r$ charakteristickej rovnice jednoduché, tak týmto postupom získame $n$ lineárne nezávislých riešení
• ak je niektorý koreň ${\hat {r}}$ charakteristickej rovnice $k$-násobný, tak potom funkcie $x\mapsto x^{m}e^{{\hat {r}}x},\ m=0,1,2,\dots ,k-1$ (je to $k$ lineárne nezávislých funkcií) sú riešením diferenciálnej rovnice.

V každom prípade takto získame práve $n$ lineárne nezávislých riešení homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice $n$-tého rádu s konštantnými koeficientami.

Ak sú koeficienty $a_{i},\ i=1,2,\dots ,n$ reálne čísla, tak spolu s koreňom ${\hat {r}}$ má charakteristická rovnica aj koreň komplexne združený ${\hat {r}}^{\star }$. V tomto prípade z koreňov ${\hat {r}},\ {\hat {r}}^{\star }$ máme 2 reálne funkcie

$x\mapsto e^{ax}\cos(bx),\ x\mapsto e^{ax}\sin(bx),\!$

kde ${\hat {r}}=a+ib,\ a,b\in \mathbb {R} .$ V prípade, že uvedený koreň je viacnásobný, tak sa pridávajú násobky trigonometrických funkcií mocninou nezávisle premennej.