Moment sily

Moment sily alebo krútiaci moment

Vo fyzike a mechanike je moment sily rotačnou obdobou lineárnej sily. Tak, ako sila vyjadruje mieru posuvného účinku na teleso, moment sily vyjadruje mieru rotačného účinku na teleso vzhľadom na určitý bod.

Otáčavý účinok sily sa môže vzťahovať vzhľadom na daný bod alebo priamku. Bod, ku ktorému sa moment sily určuje, sa nazýva momentový bod.

Kolmá vzdialenosť $r$ sily $F$ od jej osi k momentovému bodu je tzv. rameno sily. Bod, voči ktorému sa určuje moment sily, nemusí byť bodom ležiacim na osi otáčania. Moment sily môžeme určiť vzhľadom na ľubovoľný bod, a to i k bodom, ktoré sa nachádzajú mimo skúmané teleso.

Značenie

Mnohí autori používajú rozličné označenia momentu sily. Medzi najčastejšie patria Latinské písmeno M, Grécke písmena tau $\tau$ a gama $\Gamma$.

• Symbol veličiny: $M$, $\tau$, $\Gamma$;
• jednotka SI: newton meter, značka jednotky: Nm;
• Ďalšie jednotky: newton centimeter Ncm, resp. iné odvodené jednotky.

Definícia

Elementárna definícia momentu sily

Nech pôsobisko sily $\mathbf {F}$ je vzhľadom na ľubovoľný bod $O$ určené polohovým vektorom $\mathbf {r}$. Moment sily $\mathbf {F}$ vzhľadom na bod $O$ je potom určený vzťahom

$\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =Fr\sin \theta =F_{\perp }r,$

kde F a r sú veľkosti pôsobiacej sily, resp. polohového vektora, $\theta$ je uhol medzi spomenutými vektormi a $F_{\perp }=F\sin \theta$ je sila pôsobiaca kolmo na polohu častice.

Moment sily a moment hybnosti hmotného bodu

Vzťah medzi silou $\mathbf {F}$, momentom sily $\mathbf {\tau }$, hybnosťou $\mathbf {p}$ a momentom hybnosti $\mathbf {L}$.

Ekvivalentnou definíciou celkového momentu sily $\mathbf {\Gamma }$ je časová derivácia momentu hybnosti $\mathbf {L}$

$\mathbf {\Gamma } :={\frac {d}{dt}}{\mathbf {L} }$

Dokážeme ekvivalentnosť týchto definícií. Moment hybnosti jednoducho vyjadríme pomocou polohového vektora uvažovaného hmotného bodu $\mathbf {r}$ a hmotnosti m

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\dot {\mathbf {r} }}$,

kde bodka nad veličinou označuje časovú deriváciu. Počítajme časovú deriváciu

${\dot {\mathbf {L} }}={\dot {\mathbf {r} }}\times m{\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$

pričom posledná úprava je oprávnená, nakoľko vektorový súčin dvoch rovnobežných vektorov je nulový a na základe druhého Newtonovho zákona je výraz $m{\ddot {\mathbf {r} }}$ celková sila pôsobiaca na časticu. Dokázali sme teda rovnosť

${\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =\mathbf {\Gamma } =\mathbf {M} _{\text{celk.}}$

Moment sily leží v osi ktorá prechádza kolmo na rovinu určenú vektormi r a F a mieri na tú stranu, z ktorej sa smer sily javí v kladnom zmysle.

Druhá veta impulzová

Uvažujme sústavu hmotných bodov. Druhá veta impulzová, alebo druhá pohybová rovnica znie nasledovne:

Súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na jednotlivé hmotné body sústavy sa rovná časovej derivácii celkového momentu hybnosti sústavy.

Túto vetu môžeme zapísať matematicky v tvare

$\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{n}^{\text{ext}}=\mathbf {\Gamma } ^{\text{ext}}={\frac {d}{dt}}\mathbf {L} _{\text{tot}},$

kde $\mathbf {r} _{n}$ označuje polohový vektor n-tej častice, $\mathbf {F} _{n}^{\text{ext}}$ celkovú vonkajšiu (externú) silu pôsobiacu na n-tú časticu, $\mathbf {\Gamma } ^{\text{ext}}$ celkový moment vonkajších (externých) síl a $\mathbf {L} _{\text{tot}}$ celkový (totálny) moment hybnosti.

Dôkaz

Silu $\mathbf {F} _{n}$ pôsobiacu na n-tú časticu môžeme zapísať ako súčet celkovej externej sily a celkových vnútorných (interných) síl:

$\mathbf {F} _{n}=\mathbf {F} _{n}^{\text{ext}}+\sum _{m\neq n}\mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}$,

pričom $\mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}$ označuje internú silu na časticu n od častice m. Celková interná sila pôsobiaca na časticu n je potom súčtom súčtom týchto síl skrze všetky častice m, okrem prípadu, ak m a n sú totožné (neuvažujeme silové pôsobenie častice na seba samú, uvažujeme iba vzájomné pôsobenie medzi dvoma rôznymi časticami). Časovú zmenu celkového momentu hybnosti teda vieme vyjadriť súčtom zmien momentov hybností jednotlivých častíc

${\dot {\mathbf {L} }}_{\text{tot}}=\sum _{n}{\dot {\mathbf {L} }}_{n}=\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{n};$

${\dot {\mathbf {L} }}_{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times (\mathbf {F} _{n}^{\text{ext}}+\sum _{m\neq n}\mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}).$

Upravujme dvojitú sumu v našom vyjadrení

$\sum _{n}\sum _{m\neq n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}=\sum _{n}\sum _{m>n}(\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}+\mathbf {r} _{m}\times \mathbf {F} _{mn}^{\text{int}})$.

Ďalej využijeme tretí Newtonov pohybový zákon, ktorý hovorí, že sila, ktorou pôsobí častica m na n je vo veľkostí totožná a v smere opačná ako sila, ktorou pôsobí častica n na m. ($\mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}=-\mathbf {F} _{mn}^{\text{int}}$)

$\sum _{n}\sum _{m\neq n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}=\sum _{n}\sum _{m>n}(\mathbf {r} _{n}-\mathbf {r} _{m})\times \mathbf {F} _{nm}^{\text{int}}$.

Táto dvojitá suma je nulová za predpokladu, že interné sily sú centrálne (pôsobiace na spojnici hmotných bodov m a n), pretože vektor $\mathbf {r} _{n}-\mathbf {r} _{m}$ je vektor spájajúci častice m a n (tzv. relatívny vektor), teda je rovnobežný s centrálnou internou silou. Uvažovať o interných silách ako o centrálnych je oprávnené, nakoľko väčšina možných interakcií medzi časticami je centrálneho charakteru (Newtonova gravitačná sila, Coulombova sila...). Dostávame teda

${\dot {\mathbf {L} }}_{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{n}^{\text{ext}},$

čo sme chceli ukázať.

Zákon zachovania momentu hybnosti

Z predchádzajúceho dôkazu je zrejmé, že časová derivácia celkového momentu hybnosti je nulová, ak celkový externý moment síl je nulový. Platí teda zákon zachovania momentu hybnosti sústavy častíc:

Ak je celkový moment vonkajších síl pôsobiacich na sústavu hmotných bodov nulový, potom je celkový moment hybnosti tejto sústavy nezávislý od času, t.j. zachováva sa.