Arkustangens

Grafy funkcií arkustangens a arkuskotangens

Arkustangens je jedna z cyklometrických funkcií, inverzná funkcia k funkcii tangens. Obvykle sa značí arctgx alebo arctanx, v anglickej literatúre sa taktiež používa ATANx alebo tan^-1x. Jej hodnotou je uhol v oblúkovej miere z intervalu $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$, prípadne v stupňovej miere z intervalu (-90 °;90 °), ktorého tangens je x. Je to jedna z najdôležitejších funkcií matematickej analýzy.

Definícia

Funkcia arctgx je inverzná funkcia k funkcii tg x, ktorej definičný obor bol obmedzený na interval $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$. Vďaka tomuto obmedzeniu je predvolená funkcia prostá, takže požadovaná inverzná funkcia existuje.

Vlastnosti

Funkcia $y={\mbox{arctg }}x$ v oblúkovej miere je bijektívne zobrazenie medzi množinou reálnych čísel $\mathbb {R}$ a intervalom $(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$, čo okrem iného dokazuje, že každý interval má rovnakú mohutnosť ako množina reálnych čísel.

Ďalej má táto funkcia nasledujúce vlastnosti:

Definičný obor	$\mathbb {R}$
Obor hodnôt	$(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}})$
Ohraničenosť	Je ohraničená
Monotónnosť	Je rýdzo rastúca, a teda prostá
Symetria	Je nepárna
Periodicita	Nie periodická
Limity	$\lim _{x\to -\infty }{\mbox{arctg }}x=-{\tfrac {\pi }{2}}$ $\lim _{x\to +\infty }{\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}$ $\lim \limits _{x\rightarrow 0}{{\mbox{arctg }}x \over x}=1,$ Takže v okolí nuly je ${\mbox{arctg }}x\approx x$
Inverzné funkcie	$x={\mbox{tg }}y$ (Tangens)
Derivácia	${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\,{\mbox{arctg }}x={1 \over {1+x^{2}}}$
Integrál	$\int {\mbox{arctg }}x\;\mathrm {d} x=x\;{\mbox{arctg }}x-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

Vzorce

${\mbox{arctg }}x={\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arccotg }}x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\mbox{arctg }}(-x)=-{\mbox{arctg }}x$

${\mbox{arctg }}{1 \over x}={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x={\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x>0\\-{\tfrac {\pi }{2}}-{\mbox{arctg }}x=-\pi +{\mbox{arccotg }}x&{\text{pokiaľ }}x<0\end{cases}}$

${\tfrac {1}{2}}\,{\mbox{arctg }}x={\mbox{arctg}}\,{x \over 1+{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$2\,{\mbox{arctg }}x\equiv {\mbox{arctg}}\,{2x \over 1-x^{2}}{\pmod {\pi }},\quad x\neq \pm 1$

${\mbox{arctg }}x+{\mbox{arctg }}y\equiv {\mbox{arctg}}\,{x+y \over 1-xy}{\pmod {\pi }},\quad xy\neq 1$

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Arkus tangens na českej Wikipédii.

Externé odkazy

• Cyklometrické funkcie