Hiperbolične funkcije

Hiperboličke funkcije su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks area, što treba razlikovati od prefiksa arkus koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom $\sinh x,\;\cosh x,\;\tanh x,\;\coth x,\;\operatorname {sech} x,\;\operatorname {cosech} x,$ odnosno $\operatorname {csc} x,$ i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

Definicije

Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni sledećim analitičkim definicijama, formulama:

\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right),\quad \cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right),

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}},\quad \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}},

\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}},\quad \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}.

Poreklo imena

Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

x=a\cosh t,\;y=b\sinh t;\;(t\in \mathbb {R} ).

Trigonometrijska hiperbola

Poput funkcija trigonometrijske kružnice $x^{2}+y^{2}=1,$ definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole $x^{2}-y^{2}=1.$ Na slici desno je sa u označena dvostruka senčena površina. Tačka $E(x,y)\,$ nalazi se na preseku hiperbole i prave OE. Senčena površina OAE, rekli smo da iznosi u/2, može se razumeti kao razlika površina trougla OBE i temenog odsečka ABE hiperbole, gde je OB=x, BE=y.

Teorema 1: (a) Dvostruka površina $2\cdot {\widehat {OAE}}=$ $u=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}});$; (b) $\cosh u={\frac {1}{2}}(e^{u}+e^{-u});$; (v) $\sinh u={\frac {1}{2}}(e^{u}-e^{-u}).$

Dokaz: (a) Sama senčena površina sa slike ${\widehat {OAE}}={\frac {u}{2}}=P_{\Delta OBE}-P_{ABE}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {OB}}\cdot {\overline {BE}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {x^{2}-1}}\,dx$; $={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\right)={\frac {1}{2}}\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}).$ Pomnožimo dobijenu jednakost sa dva. (b) Iz (a) izračunajmo inverzno $x={\frac {1}{2}}(e^{u}+e^{-u}).$ Uvedimo novo ime $x=\cosh u.\,$ (v) Stavimo $y={\sqrt {x^{2}-1}},$ tačka E je i dalje na hiperboli, pa smenom h iz (b) dobijamo, pa nakon sređivanja $\sinh u={\frac {1}{2}}(e^{u}-e^{-u}).$ Zatim uvedimo novo ime $y=\sinh u.\,$ Kraj dokaza 1.

U istoj teoremi (1) funkcija u(x) iz prvog tvrđenja (a) je inverzna funkcij i x(u), tj. cosh(u), iz (b). I obrnuto. Zato se inverzne hiperboličke funkcije zovu area-funkcije, po latinskoj reči area - površina.

Analogije sa trigonometrijskom kružnicom su sledeće:

Prvo, pod centralnim uglom φ vidi se luk trigonometrijske kružnice dužine φ. To je senčeni ugao AOE na istoj slici. Projekcija preseka gornjeg kraka AE sa (plavom) kružnicom na apscisu je h, tj. kosinus ugla φ. Inverzna funkcija kosinusu je luk, pa se inverzne trigonometrijske funkcije zovu arkus-funkcije, po latinskoj reči arkus - luk.
Drugo, dvostruka površina isečka centralnog ugla φ (u radijanima) trigonometrijske kružnice iznosi takođe φ. Naime, površina kružnog isečka je uopšte $P_{2\phi }={\frac {1}{2}}r^{2}\cdot 2\phi ,$ pa kako je r = 1 dobijamo $P_{2\phi }=\phi .$ Međutim, ova osobina običnih trigonometrijskih funkcija je retko u upotrebi.

Konačno, jedine fundamentalne funkcije trigonometrija su sinus i kosinus. Pomoću te dve definišemo preostale četiri: tangens, kotangens, sekans i kosekans, kao što je već urađeno na početku definicija. Drugi način da te četiri funkcije definišemo je ista slika. Iz tačke 1 apscise (na slici tačka A) povučemo paralelu sa ordinatom do preseka F sa krakom ugla OE. Zatim iz tačke 1 ordinate (na slici tačka H) povučemo paralelu sa apscisom do preseka D sa krakom ugla OE. Ugao AOE je φ.

Teorema 2: (a) ${\overline {AF}}=\tanh u={\frac {\sinh u}{\cosh u}};$ (b) ${\overline {HD}}=\coth u={\frac {\cosh u}{\sinh u}}.$

Dokaz: Na istoj prethodnoj slici trigonometrijske hiperbole imamo (a) slične trouglove $\Delta OAF\sim \Delta OBE$ , pa je ${\overline {AF}}:{\overline {AO}}={\overline {BE}}:{\overline {BO}},$ tj. ${\overline {AF}}=y:x,$ jer je AO = 1, pa sledi (a); (b) iz sličnosti $\Delta OHD\sim \Delta EBO,$ jer $\angle D=\phi \,$ pa važi proporcija ${\overline {HD}}:{\overline {HO}}={\overline {BE}}:{\overline {BO}},$ tj. ${\overline {HD}}=x:y,$ jer je HO = 1, pa sledi (b). Kraj dokaza 2.

U tački E hiperbole postavimo tangentu (t). Tangenta t seče apscisu u tački T. Ugao između apscise (osa O-A-B-S prethodne slike) i tangente je α. Produžetak tangente dole, seče ordinatu, na slici desno u tački M, koja se ne vidi na prethodnoj slici.

Teorema 3: (a) $\alpha +\phi ={\frac {\pi }{2}};$; (b) ${\overline {OT}}=\operatorname {sech} u={\frac {1}{\cosh u}}:$; (v) ${\overline {OM}}=\operatorname {csch} u={\frac {1}{\sinh u}}.$

Dokaz: Tangenta hiperbole u tački E određena je izrazom; $\tan \alpha ={\frac {dy}{dx}}={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\frac {x}{y}}=\cot \phi =\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right).$; Otuda je $\alpha ={\frac {\pi }{2}},$ čime je dokazano (a). Iz sličnosti trouglova; $\Delta TBE\sim \Delta EBO$ sledi ${\overline {TB}}:{\overline {BE}}={\overline {EB}}:{\overline {BO}},$ a otuda ${\overline {TB}}={\frac {{\overline {BE}}^{2}}{\overline {BO}}}={\frac {y^{2}}{x}}.$; Zbog ${\overline {OT}}={\overline {OB}}-{\overline {TB}}=x-{\frac {y^{2}}{x}}={\frac {x^{2}-y^{2}}{x}}={\frac {1}{x}}={\frac {1}{\cosh u}},$ biće ${\overline {OT}}=\operatorname {sech} u.$ Time je dokazano (b).; Konačno, iz sličnosti trouglova $\Delta OTM\sim \Delta OBE$ sledi ${\overline {OM}}:{\overline {OT}}={\overline {OB}}:{\overline {EB}}=x:y,$ a odatle ${\overline {OM}}={\frac {{\overline {OT}}\cdot x}{y}}={\frac {1}{\sinh u}},$ dakle, ${\overline {OM}}=\operatorname {csch} u.$ Time je dokazano (v). Kraj dokaza 3.

Predstavljanje redovima

Razvojem hiperboličke funkcije u Tejlorov red dobijamo:

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+...,

\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+....

Trigonometrijska veza

Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:

\sinh ix=i\sin x\,\;i^{2}=-1,

\cosh ix=\cos x,\,

\tanh ix=i\tan x.\,

Osobine

Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:

\cosh ^{2}x=1+\sinh ^{2}x,\,

\operatorname {sech} ^{2}x=1-\tan ^{2}x,\,

\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,\,

\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,\,

\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\,

\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x.\,

Kako je $\cosh(-x)=\cosh x,\;\sinh(-x)=-\sinh x,$ to je prva funkcija parna, a druga neparna. Graf prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), graf druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lako je izračunati sledeće izvode:

{\frac {d}{dx}}(\cosh x)=\sinh x,\;{\frac {d}{dx}}(\sinh x)=\cosh x,\;{\frac {d}{\tanh x}}=\operatorname {sech} ^{2}x.

Poreklo

Hiperboličke funkcije su nastale zbog potreba ne-Euklidske geometrije. Tražeći Euklidsku ravan u svojoj ne-Euklidskoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidski prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih ne-Euklidskih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivrečnosti. Sa druge strane, omogućile su prenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

Povezano