Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения. Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

${\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)$

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$, $A$ — линейный оператор, $f(x)$ — гладкая функция класса $C^{k+1}$, причем $f(0)=0$ и $Df(0)=0$. Иными словами, $Ax$ — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

подпространство	название	спектр A
$T^{s}$	устойчивое (stable)	$\operatorname {Re} \lambda <0$
$T^{u}$	неустойчивое (unstable)	$\operatorname {Re} \lambda >0$
$T^{c}$	центральное (center)	$\operatorname {Re} \lambda =0$

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех $A$-инвариантных подпространств $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c}$, где $T^{s},T^{u},T^{c}$ определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы ${\dot {x}}=Ax$, решением которой является матричная экспонента $x(t)=e^{At}x_{0}$. Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение:

Теорема (о центральном многообразии).

Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (*) принадлежит классу $C^{k}$, $2\leq k<\infty$. Тогда в окрестности особой точки существуют многообразия $W^{s},W^{u}$ и $W^{c}$ классов $C^{k},C^{k}$ и $C^{k-1}$ соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств $T^{s},T^{u}$ и $T^{c}$ и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

В случае, когда правая часть уравнения (*) принадлежит классу $C^{\infty }$, многообразия $W^{s}$ и $W^{u}$ также принадлежат классу $C^{\infty }$, но центральное многообразие $W^{c}$, вообще говоря, может быть лишь конечно-гладким. При этом для любого сколь угодно большого числа $k$ многообразие $W^{c}$ принадлежит классу $C^{k}$ в некоторой окрестности $U_{k}$, стягивающейся к особой точке при $k\to \infty$, так что пересечение всех окрестностей $U_{k}$ состоит лишь из самой особой точки.

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора $A$.

Пример: седлоузел

Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

${\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}$

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис $\{x=0,y>0\}$ и $\{x=0,y<0\}$ и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

$y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)$,

где $y(x_{0})=y_{0}$.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox $\{x<0,y=0\}$. В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого $x_{0}>0$ и любого $y_{0}$. В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча $\{x<0,y=0\}$, точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).

Глобальные центральные многообразия

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.)

Рассмотрим проекции $\pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c}$ пространства $\mathbb {R} ^{n}$ на соответствующие инвариантные подпространства оператора $A$. Определим также подпространство $T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}$ и проекцию $\pi _{h}$ на него. Центральным многообразием $W^{c}$ называется множество таких точек $x$ фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из $x$, на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

$W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}$,

где ${\tilde {x}}(t,x)$ — такое решение уравнения (*), что ${\tilde {x}}(0,x)=x$.

Для существования глобального центрального многообразия на функцию $f(x)$ необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в $\mathbb {R} ^{n}$ и определено единственным образом. Если потребовать от $f(x)$ гладкости порядка $k$ и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка $k$ и касаться центрального инвариантного подпространства $T^{c}$ в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального. Точнее, это утверждение формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть $f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})$, $k\geq 1$, $f(0)=0$, $Df(0)=0$ и $W^{c}$ — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля $\Omega$ и такая ограниченная на всем пространстве функция ${\tilde {f}}(x)$, совпадающая с $f(x)$ в $\Omega$, что уравнение (*) для функции ${\tilde {f}}$ имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области $\Omega$ с $W^{c}$

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения Шошитайшвили, формулируется следующим образом:

Теорема (А. Н. Шошитайшвили, 1975).

Предположим, что правая часть векторного поля (*) принадлежит классу $C^{2}$. Тогда в окрестности негиперболической особой точки оно орбитально-топологически эквивалентно произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

${\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{cases}}\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}$

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.