Линейная динамическая система

Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.

Введение

В линейной динамической системе, изменение вектора состояния ( $N$ -мерный вектор обозначается $\mathbf {x}$ ) эквивалентно постоянной матрице (обозначается $\mathbf {A}$ ) умноженной на $\mathbf {x}$ . Эти изменения могут иметь две формы:

или как поток, в котором $\mathbf {x}$ изменяется непрерывно со временем:

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)

или как отображение, в котором $\mathbf {x}$ изменяется дискретно:

\mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m}

Эти уравнения являются линейными в следующем смысле: если $\mathbf {x} (t)$ и $\mathbf {y} (t)$ - два действительных решения, то и любая линейная комбинация имеет два решения, например, $\mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)$ где $\alpha$ и $\beta$ два любых скаляра. Матрица $\mathbf {A}$ не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда, нелинейная система может быть решена точно изменением переменных в линейной системе. Кроме того, решения почти любой нелинейной системы могут быть приближенно найдены эквивалентно линейной системы вблизи её неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решение является важнейшим шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решения линейных динамических систем

Если первоначальный вектор $\mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)$ выровнен с собственным вектором $\mathbf {r} _{k}$ в матрице $\mathbf {A}$ , динамика проста

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}

где $\lambda _{k}$ является соответствующим собственному значению; решение этого уравнения

\mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

как может быть подтверждено путём замены.

Если $\mathbf {A}$ диагонализируема, тогда любой вектор в $N$ -мерном пространстве может быть представлен комбинацией правых и левых собственных векторов (обозначается $\mathbf {l} _{k}$ ) из матрицы $\mathbf {A}$ .

\mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}

Таким образом, общее решение для $\mathbf {x} (t)$ линейная комбинация отдельных решений для правых собственных векторов

\mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Классификация в двух измерениях

Классификация 2D неподвижной точки согласно следу и определителю матрицы Якоби

Корни характеристического многочлена матрицы (A - λI) являются собственными значениями A. Признак и связь этих корней, $\lambda _{n}$ , друг с другом могут быть использованы для определения стабильности динамической системы

{\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).

Для двухмерных систем, характеристический многочлен имеет вид $\lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0$ где $\tau$ след матрицы $\Delta$ является детерминантом, определяющим A. Таким образом, два корня имеют вид:

\lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}

Отметим также, что $\Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}$ и $\tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}$ . Таким образом, если $\Delta <0$ то собственные значения противоположного знака, и неподвижная точка является седловой. Если $\Delta >0$ то собственные значения одного знака. Поэтому, если $\tau >0$ оба положительны и точка неустойчива, и если $\tau <0$ то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант покажет нам, если точка находится в узле или спирали (т.e. если собственные значения действительные или комплексные).