Комплексификация

Комплексифика́ция — это операция построения по данному вещественному пространству «наиболее близкого» к нему комплексного пространства. Простейший пример — комплексификация конечномерного вещественного векторного пространства. В этом случае, интуитивно, элемент пространства представляется последовательностью вещественных чисел, и можно «рассмотреть эти числа как элементы $\mathbb {C}$». Тогда можно ввести операцию умножения вектора на комплексные числа, что даст комплексное векторное пространство той же размерности. Формально это означает сопоставление данному вещественному пространству $V$ комплексного пространства $V^{C}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$, называемого комплексификацией $V$ (на нём вводится естественное умножение на элементы $\mathbb {C}$). Здесь $\otimes _{\mathbb {R} }$ — тензорное произведение над $\mathbb {R}$

Комплексификацию можно определить и для других типов вещественных пространств (многообразий, групп Ли, алгебр, …). В общем случае это весьма нетривиальная операция: многие пространства не имеют (нетривиальной) комплексификации. Общее определение даётся с помощью понятия сопряжённого функтора.

Обратная (в некотором смысле) операция называется овеществление. Его определить несколько проще, чем комплексификацию.

Литература

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. — М.: Физико-математическая литература, 2000. — 368 с. — ISBN 5-9221-0018-1.