Коалгебра

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обоих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, в универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах). Существует также F-коалгебра, имеющая важные приложения в информатике.

Определение

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями $\Delta :C\to C\otimes _{K}C$ и $\epsilon :C\to K$, такими что

1. $(\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$
2. $(\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$.

(Здесь $\otimes$ и $\otimes _{K}$ означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

На первой диаграмме мы отождествляем $C\otimes (C\otimes C)$ с $(C\otimes C)\otimes C$ как два естественно изоморфных пространства. Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства $C$ , $C\otimes K$ и $K\otimes C$.

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Пример

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

$\Delta (s)=s\otimes s\quad {\mbox{ and }}\quad \epsilon (s)=1\quad \forall s\in S.$

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случай

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (A ⊗ A)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.

См. также

• Алгебра Хопфа
• Косвободная коалгебра

Литература

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, Pure and Applied Mathematics, vol. 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 {{citation}}: Неизвестный параметр |subtitle= игнорируется (справка).
• Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, Translations of mathematical monographs, vol. 108, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646.
• Bourbaki, Nicolas. Algebra (неопр.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.

Ссылки

• William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory Архивная копия от 24 октября 2004 на Wayback Machine