În matematică, algoritmul lui Euclid este o metodă eficientă de calcul al celui mai mare divizor comun (CMMDC). El este denumit după matematicianul grec Euclid, care l-a descris în Cărțile VII și X din Elementele.
CMMDC a două numere este cel mai mare număr care le divide pe ambele. Algoritmul lui Euclid exploatează observația că cel mai mare divizor comun al două numere nu se modifică dacă numărul cel mai mic este scăzut din cel mai mare. De exemplu, 21 este CMMDC al numerelor 252 și 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); întrucât 252 − 105 = 147, CMMDC al lui 147 și 105 este tot 21. Cum cel mai mare dintre cele două numere este redus, repetarea acestui proces dă numere din ce în ce mai mici, până când unul dintre ele este 0. Când se întâmplă aceasta, CMMDC este celălalt număr, cel nenul. Inversând pașii algoritmului lui Euclid, CMMDC se poate exprima sub formă de suma celor două numere inițiale, fiecare înmulțite cu un întreg pozitiv sau negativ, de exemplu: 21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Această proprietate importantă se numește identitatea lui Bézout.
Prima descriere rămasă a algoritmului lui Euclid este lucrarea lui Euclid intitulată Elementele (c. 300 î.e.n.), fiind unul dintre cei mai vechi algoritmi numerici încă utilizați. Algoritmul original a fost descris doar pentru numere naturale și lungimi geometrice (numere reale), dar algoritmul a fost generalizat în secolul al XIX-lea și la alte tipuri de numere, cum ar fi întregii gaussieni și polinoamele de o variabilă. Aceasta a dus la noțiuni moderne de algebră abstractă, cum ar fi inelele euclidiene. Algoritmul lui Euclid s-a generalizat și pentru alte structuri matematice, cum ar fi nodurile și polinoamele multivariabilă.
Algoritmul lui Euclid are numeroase aplicații practice și teoretice. Este un element cheie al algoritmului RSA, o metodă de criptare cu chei publice des folosită în comerțul electronic. Este utilizat pentru a rezolva ecuațiile diofantice, cum ar fi calcularea numerelor care satisfac mai multe congruențe (Teorema chinezească a resturilor) sau inversul multiplicativ al unui corp. Algoritmul lui Euclid poate fi utilizat pentru a construi fracții continue, în metoda lanțului Sturm pentru găsirea rădăcinilor reale ale unui polinom, și în mai mulți algoritmi moderni de factorizare a întregilor. Este utilizat și la demonstrarea unor teoreme din teoria modernă a numerelor, cum ar fi teorema celor patru pătrate a lui Lagrange și teorema fundamentală a aritmeticii (factorizarea unică).
Algoritmul lui Euclid calculează eficient CMMDC a două numere oricât de mari sunt, deoarece nu necesită niciodată un număr de pași mai mare decât de cinci ori numărul de cifre (în bază 10) al celui mai mic întreg. Gabriel Lamé a demonstrat aceasta în 1844, marcând începutul teoriei complexității computaționale. În secolul al XX-lea s-au dezvoltat metode de îmbunătățire ale eficienței algoritmului.
|

- … turla bisericii din Prachatice (foto), Cehia, a fost declarată în 2005 arie naturală protejată cu suprafața de 90 m² datorită coloniei de lilieci prezentă acolo?
- … la alegerile municipale din São Paulo din 1959, candidatura lui Cacareco, o femelă de rinocer negru, a obținut mai multe voturi decât oricare dintre partidele politice participante?
- ... dramaturgul grec Eschil a murit, potrivit legendei, lovit în cap de o țestoasă aruncată de la înălțime de un vultur?
- ... vârful muntos cel mai îndepărtat de centrul Pământului nu este Everest, ci vulcanul Chimborazo din Ecuador?
- ... veșmântul purtat de Maica Tereza este protejat de o marcă înregistrată pentru a evita exploatarea sa comercială?
- ... în septembrie 1939, regele George al VI-lea al Regatului Unit se afla în război cu Germania Nazistă ca suveran al Marii Britanii, dar era neutru ca suveran al Irlandei de Nord?
- ... Farul Amédée din Noua Caledonie a fost aprins pentru prima dată la 15 noiembrie 1865, de ziua de nume a împărătesei Eugénie, soția lui Napoleon al III-lea?
|