Soma telescópica

O nome soma telescópica deriva da função do telescópio, ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.

Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendo

A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.

O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório.

Em matemática, esta soma segue um dos seguintes padrões:

\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,

Ou

\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,

Ainda, de forma similar:

(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,

Esta soma pode ser simplificada:

(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,

Naturalmente qualquer seqüência de termos $b_{n}\,$ pode ser escrita como uma soma telescópica:

b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,

Desenvolvimento

Dada uma sequencia  $\ F_{n}\mathrm {com} \ n\in \mathbb {N} \,$  tem-se que  $\Delta \ F_{k}=F_{k+1}-F_{k}\$

Dessa forma:

{\begin{aligned}\Delta \ F_{1}&{}=F_{2}-F_{1}\\\Delta \ F_{2}&{}=F_{3}-F_{2}\\\Delta \ F_{3}&{}=F_{4}-F_{3}\\&{}\ldots \\\Delta \ F_{n-1}&{}=F_{n}-F_{n-1}\\\Delta \ F_{n}&{}=F_{n+1}-F_{n}\\\end{aligned}}

Somando todas as equações membro a membro:

\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+\ldots +F_{n}-F_{n-1}+F_{n+1}-F_{n}\,

Efetuando os devidos cancelamentos, temos:

\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{n+1}-F_{1}\,

Portanto:

\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,

Demonstração

Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia. O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.

Para limite = 3:

\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})\,

· $\ X_{1}(F_{1}-F_{1+1})=F_{1}-F_{2}\,$

· $\ X_{2}(F_{2}-F_{2+1})=F_{2}-F_{3}\,$

· $\ X_{3}(F_{3}-F_{3+1})=F_{3}-F_{4}\,$

Expressando a soma dos elementos descritos:

\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}=F_{1}-F_{2}+F_{2}-F_{3}+F_{3}-F_{4};\,

Observe que os termos $F_{2}\,$ e $F_{3}\,$ , são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{4}\,$ se mantem.

Significa que $F_{4}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$ . Demonstrando a igualdade:

\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:

Para limite = 5:

\sum _{k=1}^{5}(F_{k+1}-F_{k})\,

· $\ X_{1}(F_{1+1}-F_{1})=F_{2}-F_{1}\,$

· $\ X_{2}(F_{2+1}-F_{2})=F_{3}-F_{2}\,$

· $\ X_{3}(F_{3+1}-F_{3})=F_{4}-F_{3}\,$

· $\ X_{4}(F_{4+1}-F_{4})=F_{5}-F_{4}\,$

· $\ X_{5}(F_{5+1}-F_{5})=F_{6}-F_{5}\,$

Expressando a soma dos elementos descritos:

\sum _{k=1}^{5}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+F_{4}-F_{3}+F_{5}-F_{4}+F_{6}-F_{5};\,

Observe que os termos $F_{2},F_{3},F_{4}\,$ e $F_{5}\,$ , são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{6}\,$ se mantem.

Significa que $F_{6}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$ . Demonstrando a igualdade:

\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,

Exemplos

 ${\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}\,$

Observe que o denominador segue o padrão: $k(k+1):k\in \mathbb {N} \,$ .Logo, esta soma pode ser escrita como:

{\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}=\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}\,

A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo ${\frac {1}{k(k+1)}}\,$ como a diferença de outros dois. Então, ${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {k+1-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{(k+1)}}\,$

Assim:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}&{}=\sum _{k=1}^{999}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}

Portanto:

\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{k+1}}=1-{\frac {1}{999+1}}={\frac {999}{1000}}\,

.

Calcule:  $\sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}\,$

Desenvolvendo a soma temos: $(2^{3}-2^{4})+(2^{4}-2^{5})+(2^{5}-2^{6})+\ldots +(2^{10}-2^{11})\,$

Vemos que os termos de $2^{4}\,$ ate $2^{10}\,$ se cancelam e portanto o calculo pode ser resumido a:

\sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}=2^{3}-2^{11}=-2040\,

Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.

Dada a seguinte sequencia recursiva:  $\ a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}}{1+na_{n}}}\,$ .Calcule  $\ a_{2012}\,$ .

A princípio, inverte-se a equação que define $\ a_{n+1}\,$ para desmembra-la em duas frações como veremos a seguir:

{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1+na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+n\,

Fazendo $b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}\,$

b_{n+1}=b_{n}+n

Desenvolvendo os termos temos:

{\begin{aligned}b_{2}&{}=b_{1}+1\\b_{3}&{}=b_{2}+2\\&{}\ldots \\b_{2011}&{}=b_{2010}+2010\\b_{2012}&{}=b_{2011}+2011\\\end{aligned}}

Isolando as variaveis tem-se:

{\begin{aligned}b_{2}-b_{1}&{}=1\\b_{3}-b_{2}&{}=2\\&{}\ldots \\b_{2011}-b_{2010}&{}=2010\\b_{2012}-b_{2011}&{}=2011\\\end{aligned}}

Somando todas as equações:

$\ b_{2}-b_{1}+b_{3}-b_{2}+\ldots +b_{2011}-b_{2010}+b_{2012}-b_{2011}=1+2+\ldots +2010+2011\,$

Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :

$\ b_{2012}-b_{1}=1+2+\ldots +2010+2011\,$

Por propriedade de Progressão Aritmetica:

$\ b_{2012}-b_{1}={\frac {2012*2011}{2}}\,$

$b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}\rightarrow b_{1}=1\,$ . Por definição.

Portanto $b_{2012}=1+{\frac {2012*2011}{2}}\,$

Logo, $a_{2012}={\frac {1}{1+1006*2011}}$ .

Somas telescópicas e Progressão aritmética

Veremos que os termos de  $\sum _{i=1}^{n+1}i\,$  seguem uma progressão aritmetica de razão 1.

Desenvolvendo os termos:

{\begin{aligned}\ i_{2}&{}=i_{1}+1\\\ i_{3}&{}=i_{2}+1\\&{}\ldots \\\ i_{n}&{}=i_{n-1}+1\\\ i_{n+1}&{}=i_{n}+1\\\end{aligned}}

Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.

{\begin{aligned}\ i_{2}-i_{1}&{}=1\\\ i_{3}-i_{2}&{}=1\\&{}\ldots \\\ i_{n}-i_{n-1}&{}=1\\\ i_{n+1}-i_{n}&{}=1\\\end{aligned}}

Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:

\ i_{2}-i_{1}+i_{3}-i_{2}+\ldots +i_{n}-i_{n-1}+i_{n+1}-i_{n}=1+1+\ldots +1+1\,

A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:

\ i_{n+1}-i_{1}=1+1+\ldots +1+1\,

\ i_{n+1}-i_{1}=n*1\,

Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:

\ i_{n+1}=n*1+i_{1}\,

A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:

{\frac {(i_{1}+i_{n+1})n}{2}}\,

Pois se analisarmos que :

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\\ i_{n+1}&{}=n*1+i_{n}\\\sum _{i=1}^{n}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}\\\therefore \sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}+n*1+i_{n}\\\end{aligned}}

Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.

Se  $\ a_{n+1}={\frac {2a_{n}+1}{2}}\,$  para  $\ n>=1\,$   e  $\ a_{1}=2\,$ .Determine  $\ a_{101}\,$

\ a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{2}}\,

\ a_{n+1}-a_{n}={\frac {1}{2}}=\,

cte. (Progressão aritmética de razão

{\frac {1}{2}}\,

)

Desenvolvendo os termos, temos:

{\begin{aligned}\ a_{n+1}-a_{n}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n}-a_{n-1}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n-1}-a_{n-2}&{}={\frac {1}{2}}\\&{}\ldots \\\ a_{2}-a_{1}&{}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}

Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:

\ a_{n+1}-a_{1}=n{\frac {1}{2}}\,

Logo, a formula do termo geral será:

\ a_{n+1}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\,

Desta forma,

{\begin{aligned}\ n+1=101;n=100.\\\ \\\ a_{101}&{}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=2+100{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=52\\\end{aligned}}

A série telescópica

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:

\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}

A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite $\lim _{n\to \infty }a_{n}\,$

Ver também

Referencias

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