Problema de Fagnano

Triângulo órtico: $\triangle DEF$
Triângulos inscritos: $\triangle DEF\,,\triangle GHI$
$|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG|$

Em geometria, o problema de Fagnano é um problema de otimização que foi primeiramente estabelecido por Giovanni Fagnano em 1775:

Para um triângulo agudo dado determinar o triângulo inscrito de perímetro mínimo.

O triângulo órtico, com vértices nos pontos base de altitudes de um triângulo dado, tem o menor perímetro de todos os triângulos inscritos em um triângulo agudo, portanto, é a solução do problema de Fagnano. A demonstração original de Fagnano usou métodos de cálculo e um resultado intermediário obtido por seu pai, Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano.

Referências

• Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution. Dover Publications 1965, p. 359-360. ISBN 0-486-61348-8, problem 90 (restricted online version (Google Books))
• Paul J. Nahin: When Least is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible. Princeton University Press 2004, ISBN 0-691-07078-4, p. 67
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1967, pp. 88–89.