Princípio de d'Alembert

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler

Jean le Rond d'Alembert

O Princípio de d'Alembert, também conhecido como o Princípio de Lagrange d'Alembert, é uma afirmação das leis clássicas fundamentais de movimento, e deve-se ao físico e matemático francês Jean le Rond d'Alembert. O princípio afirma que a soma das diferenças entre as forças agindo em um sistema e as derivadas no tempo dos momento do sistema ao longo de um deslocamento virtual consistente com os vínculos do sistema, é zero. Ou, matematicamente:

$\sum _{i}{(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$

em que: $\mathbf {F} _{i}$ são as forças aplicadas;

$\delta \mathbf {r} _{i}$ é o deslocamento virtual do sistema, consistente com os vínculos;

$m_{i}$ são as massas das partículas do sistema;

$\mathbf {a} _{i}$ são as acelerações das partículas do sistema;

$m_{i}\mathbf {a} _{i}$ representa a derivada temporal do momentum linear da i-ésima partícula.

A dinâmica é análoga ao princípio do trabalho virtual para forças aplicadas em um sistema estático, e é mais geral que o princípio de Hamilton pois evita a restrição a sistemas holonômicos (sistemas cujos vínculos dependem somente das coordenadas e do tempo, e não das velocidades) . Se os termos negativos nas acelerações são pensados como forças inerciais, a afirmação do princípio de d'Alembert se torna: O trabalho virtual total realizado pelas forças impressas mais as forças inerciais é zero para deslocamentos reversíveis.

A equação acima, apesar de ser conhecida como princípio de d'Alembert, foi primeiramente obtida nesta forma variacional pelo matemático italiano Joseph Louis Lagrange. A contribuição de d'Alembert foi demonstrar que num sistema dinâmico como um todo as forças de vínculo zeram, o que é equivalente a dizer que as forças generalizadas $\mathbf {Q} _{j}$ não precisam incluir as forças de vínculo.

Derivação

Considere a lei de Newton para um sistema de partículas. A força total sobre cada partícula é:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$

em que: $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ são as forças totais agindo no sistema de partículas;

$m_{i}\mathbf {a} _{i}$ são as forças inerciais resultantes das forças totais.

Movendo as forças inerciais para o lado esquerdo da equação e considerando o trabalho virtual, $\delta W$, realizado pelas forças totais e inerciais juntas através de um deslocamento virtual $\delta \mathbf {r} _{i}$ do sistema, temos:

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

que zera pelo fato de as forças totais sobre cada partícula serem nulas.

Separando as forças totais em forças aplicadas, $\mathbf {F} _{i}$, e forças de vínculo, $\mathbf {C} _{i}$, temos:

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Se deslocamentos virtuais arbitrários são assumidos em direções ortogonais às forças de vínculo, então as forças de vínculo não realizam trabalho. Tais deslocamentos são ditos serem consistentes com os vínculos. Isto leva à formulação do princípio de d'Alembert, que afirma que a diferença entre as forças aplicadas e as forças inerciais para um sistema dinâmico não realiza trabalho virtual:

$\delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$.

Referências

• Cornelius Lanczos (1970). The variational principles of mechanics (4rth Edition ed.). New York: Dover Publications Inc.. p. 92. ISBN 0-486-65067-7.
• Ing-Chang Jong (2005). Teaching Students Work and Virtual Work Method in Statics:A Guiding Strategy with Illustrative Examples (PDF). Proceedings of the 2005 American Society for Engineering Education Annual Conference & Exposition. American Society for Engineering Education. Retrieved on 2007-09-24.