Pequeno teorema de Fermat

O Teorema de Fermat, que originou o Teste de primalidade de Fermat, oferece um teste simples e eficiente para ignorar números não-primos. Qualquer número que falhe o teste não é primo.

Teorema

(Assuma-se $\operatorname {mdc} (a,b)$ como o Máximo divisor comum entre $a$ e $b$ ).

Se $m$ é primo, então para qualquer $a$ tal que $\operatorname {mdc} (a,m)=1$ , temos:

a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}

Se $m$ não é primo, ainda é possível (embora pouco provável) que o supradito se verifique.

Se $m$ é ímpar composto, e $a$ um inteiro tal que $\operatorname {mdc} (a,m)=1$ e

a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}

diz-se que $m$ é pseudoprimo para a base $a$ , i.e., é um número não primo que passa o teste de Fermat.

Prova do teorema

Seja $\operatorname {mdc} (a,m)=1$ ,

consideramos os conjuntos $\{1,2,3,\ldots ,m-1\}$ e $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}$

e percebemos que $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}\not \equiv 0{\pmod {m}}$ .

Seja $i,j\in \{1,2,3,\ldots ,m-1\}$ e $ia\equiv ja{\pmod {m}}$

vemos que $i\equiv j{\pmod {m}}$

porque $\operatorname {mdc} (a,m)=1$ ,

com isso $i=j$

porque $0\leq |i-j|<m$ ,

então os números $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}\not \equiv 0{\pmod {m}}$
são incongruentes entre si ${\pmod {m}}$ .

Então $\{a,2a,3a,\ldots ,(m-1)a\}$ são congruentes, em alguma ordem, com os números $1,2,3,\ldots ,m-1$ .

Conclui-se que:

(m-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots (m-1)\equiv a\cdot 2a\cdot 3a\cdot 4a\cdots (m-1)a\implies (m-1)!\equiv a^{m-1}\cdot (m-1)!{\pmod {m}}

Se tivermos

\operatorname {mdc} (m,(m-1)!)=1

, ou seja,

m

é primo, podemos cancelar o fator

(m-1)!

, e obtemos:

a^{m-1}\equiv 1{\pmod {m}}

,

\forall m\in

aos inteiros
o que conclui a prova.

Contrapartidas

Infelizmente existem números que passam o teste de Fermat para todas as bases para as quais são relativamente primos – são os chamados números de Carmichael, e são infinitos. Como tal, pode-se fazer o Teste de pseudoprimalidade forte:

Dado $m$
Escreve-se $m-1=2^{8}t\,\!$ , em que $t$ é ímpar
Escolher aleatoriamente $a\in [1,m[$
Calcular $h\equiv a^{t}{\pmod {m}}\,\!$
Se $h=\pm 1$ , então $m$ passa
Calcular $h^{i}=a^{(2^{i})t}$ para $i=1,2,...,8$
Se $h^{i}=-1\,\!$ para algum $i<8$ , então $m$ passa
Caso contrário $m$ falha.

O teste deve ser repetido para $r$ bases diferentes. A probabilidade de um número composto $m$ passar $r$ testes é de 1 em 4^r. Se $m$ passar o teste para 100 bases diferentes, então a probabilidade de $m$ ser composto é menor que 10⁻⁶⁰.

Um teste elementar e preciso de primalidade

Sabe-se que, com exceção dos números $2$ e $3$ , todos os outros números primos são expresso pela fórmula $I_{p}=6K\pm 1$ . Mas sabe-se que a imensa maioria dos números expresso pela fórmula $I_{p}=6K\pm 1$ não são números primos.

Os números compostos da forma $I=6K\pm 1$ são obtidos pela multiplicação de dois números da forma $I=6K\pm 1$ onde estes dois números podem ser ambos primos ou ambos compostos e também pode ser o produto de um número primo por um número composto como vemos abaixo

$6K\pm 1=(6K_{2}\pm 1)(6K_{3}\pm 1)=6.6K_{2}.K_{3}\pm 6K_{2}.1\pm 6K_{3}.1\pm 1$ que podemos escrever

$6K\pm 1=6(6K_{2}K_{3}\pm K_{2}\pm K_{3})\pm 1$

Vemos então que esta igualdade só existe se

$K=6K_{2}K_{3}\pm K_{2}\pm K_{3}$

Se esta igualdade não existir para sinais iguais ou diferentes, então o par de números $6K\pm 1$ não existe como números compostos, logo o par de números $6K\pm 1$ serão números primos gêmeos.

Então: dado um número inteiro positivo qualquer $K$ , se não ocorrer nenhum par de números inteiros positivos $K_{2},K_{3}$ que satisfaça a igualdade acima, afirma-se que os números $I_{p}=6K\pm 1$ são números primos gêmeos.

Se não ocorrer nenhum par $K_{2},K_{3}$ com sinais iguais e ocorrer ao menos um par $K_{2},K_{3}$ com sinais diferentes que satisfaça a equação, afirma-se que $I_{p}=6K+1$ é primo e $I=6K-1$ não é primo.

Se não ocorrer nenhum par $K_{2},K_{3}$ com sinais diferentes e ocorrer ao menos um par $K_{2},K_{3}$ com sinais iguais que satisfaça a equação, afirma-se que $I_{p}=6K-1$ é primo e $I=6K+1$ não é primo.

Ver também