Em matemática , matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz
M
{\displaystyle M}
M
T
{\displaystyle M^{\mathrm {T} }}
M
t
{\displaystyle M^{t}}
M
′
{\displaystyle M'}
[ 1] [ 2] [ 3]
A transposta da matriz
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
A
T
=
[
a
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
m
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}}
[ 1] [ 2] [ 3]
A
=
[
a
1
,
1
a
1
,
2
…
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
…
a
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
a
m
,
2
…
a
m
,
n
]
⇔
A
T
=
[
a
1
,
1
a
2
,
1
…
a
m
,
1
a
1
,
2
a
2
,
2
…
a
m
,
2
⋮
⋮
⋱
⋮
a
1
,
n
a
2
,
n
…
a
m
,
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}\Leftrightarrow A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{2,1}&\ldots &a_{m,1}\\a_{1,2}&a_{2,2}&\ldots &a_{m,2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,n}&a_{2,n}&\ldots &a_{m,n}\\\end{bmatrix}}}
A operação de transpor uma matriz é a operação unitária
T
:
M
→
M
{\displaystyle {}^{\mathrm {T} }:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }
M
{\displaystyle \mathbb {M} }
A
{\displaystyle A}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
Veja alguns exemplos:
[
1
2
]
T
=
[
1
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}
[
1
2
3
4
]
T
=
[
1
3
2
4
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}
A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos
1
{\displaystyle 1}
4
{\displaystyle 4}
A transposta de uma matriz
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
A
{\displaystyle A}
j
{\displaystyle j}
i
{\displaystyle i}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
[ 1]
Uma das formas práticas de construir a matriz
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:[ 1]
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A}
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}
(
c
A
)
T
=
c
A
T
{\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }}
A
{\displaystyle A}
matriz não singular .
det
(
A
T
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}
A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:
X
=
[
a
b
c
d
]
⇒
X
X
T
=
[
a
b
c
d
]
[
a
c
b
d
]
=
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow XX^{T}={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=}
[
a
2
+
b
2
a
c
+
b
d
c
a
+
d
b
c
2
+
d
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {OliveGreen}b}^{2}&{\color {Red}a}{\color {Red}c}+{\color {OliveGreen}b}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}c}{\color {Red}a}+{\color {OliveGreen}d}{\color {OliveGreen}b}&{\color {Red}c}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}}
A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:
X
=
[
a
b
c
d
]
⇒
X
T
X
=
[
a
c
b
d
]
[
a
b
c
d
]
=
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}\Rightarrow X^{T}X={\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {Red}c}\\{\color {OliveGreen}b}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}a}&{\color {OliveGreen}b}\\{\color {Red}c}&{\color {OliveGreen}d}\end{bmatrix}}=}
[
a
2
+
c
2
a
b
+
c
d
a
b
+
c
d
b
2
+
d
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {Red}a}^{2}+{\color {Red}c}^{2}&{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}\\{\color {Red}a}{\color {OliveGreen}b}+{\color {Red}c}{\color {OliveGreen}d}&{\color {OliveGreen}b}^{2}+{\color {OliveGreen}d}^{2}\end{bmatrix}}}
Demonstração.
1.
(
A
T
)
T
=
A
{\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=A\quad \,}
Seja
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
A
T
=
[
a
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
m
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}}
(
A
T
)
T
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
=
A
{\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}=A}
2.
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}
Sejam
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
B
=
[
b
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
(
A
+
B
)
T
=
(
[
a
i
,
j
+
b
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
)
T
=
[
a
i
,
j
+
b
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
m
=
A
T
+
B
T
{\displaystyle \left(A+B\right)^{\mathrm {T} }=\left([a_{i,j}+b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}+b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}
3.
(
c
A
)
T
=
c
A
T
{\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=cA^{\mathrm {T} }}
Seja
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
(
c
A
)
T
=
(
c
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
)
T
=
(
[
c
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
)
T
=
[
c
a
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
m
=
c
[
a
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
m
=
c
A
T
{\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=\left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=\left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=cA^{\mathrm {T} }}
4.
(
A
B
)
T
=
B
T
A
T
{\displaystyle \left(AB\right)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}
Sejam
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}
B
=
[
b
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
p
{\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}}
(
A
B
)
T
=
(
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
n
[
b
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
p
)
T
=
(
[
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
b
k
,
j
]
i
,
j
=
1
m
,
p
)
T
=
[
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
b
k
,
j
]
j
,
i
=
1
p
,
m
=
[
∑
k
=
1
n
b
k
,
j
a
i
,
k
]
j
,
i
=
1
p
,
m
=
[
b
i
,
j
]
j
,
i
=
1
p
,
n
[
a
i
,
j
]
j
,
i
n
,
m
=
B
T
A
T
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(AB\right)^{\mathrm {T} }&=\left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left(\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k,j}a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=[b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\&=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}
5.
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm {T} }}
A
{\displaystyle A}
Se
A
{\displaystyle A}
A
A
−
1
=
A
−
1
A
=
I
{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=I}
I
=
I
T
=
(
A
A
−
1
)
T
=
A
T
(
A
−
1
)
T
{\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(AA^{-1}\right)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }}
e
I
=
I
T
=
(
A
−
1
A
)
T
=
(
A
−
1
)
T
A
T
{\displaystyle I=I^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}A\right)^{\mathrm {T} }=\left(A^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }}
ou seja, a inversa de
A
T
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }}
A
−
1
{\displaystyle A^{-1}}
6.
det
(
A
T
)
=
det
(
A
)
{\displaystyle \det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}
Seja
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}
determinante de
A
{\displaystyle A}
det
(
A
)
:=
∑
k
=
1
n
!
±
a
1
,
s
k
,
1
a
2
,
s
k
,
2
⋯
a
n
,
s
k
,
n
{\displaystyle \det(A):=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{1,s_{k,1}}a_{2,s_{k,2}}\cdots a_{n,s_{k,n}}}
onde,
s
k
,
i
{\displaystyle s_{k,i}}
i
{\displaystyle i}
k
{\displaystyle k}
permutação da sequência
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle (1,2,\ldots ,n)}
somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.
Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:
det
(
A
)
=
∑
k
=
1
n
!
±
a
s
k
,
1
,
1
a
s
k
,
2
,
2
⋯
a
s
k
,
n
,
n
:=
det
(
A
T
)
{\displaystyle \det(A)=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{s_{k,1},1}a_{s_{k,2},2}\cdots a_{s_{k,n},n}:=\det(A^{T})}
7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Seja
A
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
n
{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}
A
A
T
=
[
a
i
,
j
]
i
,
j
=
1
n
,
n
[
a
i
,
j
]
j
,
i
=
1
n
,
n
=
[
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
a
j
,
k
]
i
,
j
=
1
n
,
n
{\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}}
donde vemos que os termos da diagonal (
i
=
j
{\displaystyle i=j}
8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..
↑ a b c d Kolman, B. (2013). Álgebra linear com aplicações 9 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622086 ↑ a b Strang, Gilbert (2010). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522107445 ↑ a b Lay, David (2013). Álgebra linear e suas aplicações 4 ed. [S.l.]: LTC. ISBN 9788521622093
![{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced7db05af6ebd82c5f5f78aa5432b2f3c3d094d)
![{\displaystyle A^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0529d5eb25fdc14618309fbda4895056b78a97)
![{\displaystyle \left(A^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27be1687132bea46ec74b7cf4c62fa85149a6c2f)
![{\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e480ed3bb0cbf1cafbec34c6ce87a08f2d0e042d)
![{\displaystyle \left(A+B\right)^{\mathrm {T} }=\left([a_{i,j}+b_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}+b_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95540a63ee57b3fdb82d56113bee405b10f17bb)
![{\displaystyle (cA)^{\mathrm {T} }=\left(c[a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=\left([ca_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}\right)^{\mathrm {T} }=[ca_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,m}=cA^{\mathrm {T} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c074a97c650df7dd1a0c4d663bf5872a610fd330)
![{\displaystyle B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a13c559d1ab35ecda10c2ce27dd3ed16cf1e827)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(AB\right)^{\mathrm {T} }&=\left([a_{i,j}]_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left(\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{i,j=1}^{m,p}\right)^{\mathrm {T} }\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=\left[\sum _{k=1}^{n}b_{k,j}a_{i,k}\right]_{j,i=1}^{p,m}\\&=[b_{i,j}]_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}]_{j,i}^{n,m}\\&=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3734003d168b973867c7eaa33cb556ae23b4093c)
![{\displaystyle A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8656aa621d36b987774539e2a9a8181932675de0)
![{\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}]_{j,i=1}^{n,n}=\left[\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}a_{j,k}\right]_{i,j=1}^{n,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cbd1a5bf3f7d78f926c6dcfb4c9911c679b32f)
