Imagem recíproca

Em matemática, a imagem recíproca, ou contra-imagem, ou pré-imagem ou imagem inversa de um subconjunto $B$ do contradomínio de uma função $f:X\rightarrow Y$ é o conjunto $f^{-1}(B)=\left\{x\in X:f(x)\in B\right\}$.

O uso da notação $f^{-1}(B)$ não significa que $f$ seja uma função invertível, mas se o for, $f^{-1}(B)$ é de facto, a imagem de $B$ pela função inversa $f^{-1}$.

Propriedades

• $f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$
• Para toda função $f:X\rightarrow Y$, $f^{-1}(Y)=X$. A prova é simples: qualquer elemento $x\in X$ é levado por f para algum elemento de Y, logo $x\in f^{-1}(Y)$.
• $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$.
• $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.
• $A\subseteq B\Longrightarrow f^{-1}(A)\subseteq f^{-1}(B)$

De fato,

$x\in f^{-1}(A)\Longrightarrow f(x)\in A.$ Como $A\subseteq B,f(x)\in B\Longrightarrow x\in f^{-1}(B)$