Dualidade de Pontryagin

Na matemática, mais especificadamente na análise harmônica e na teoria dos grupos topológicos, a dualidade de Pontryagin explica as propriedades gerais da transformada de Fourier em grupos abelianos locais, como os reais, os circulares, ou grupos cíclicos finitos. O teorema da dualidade de Pontryagina em si, afirma que grupos abelianos localmente compactos se identificam naturalmente com seu bi-dual.

Introdução

A dualidade de Pontryagin coloca em um contexto unificado um número de observações sobre funções no domínio real ou em um grupo abeliano finito.^[1]

Funções periódicas regulares com números complexos, no domínio real tem série de Fourrier e tal função pode ser recuperada de sua série de Fourrier.
Funções complexas adequadamente regulares no domínio real tem transformada de Fourrier que são funções no domínio real e, somente funções periódicas podem ser recuperadas de sua tranformada de Fourrier; e
Funções complexas em um grupo abeliano finito tem transformadas de Fourrier discretas, que são funções no grupo dual, que é (não canonicamente) um grupo isomórfico. Além disso, toda função em um grupo finito pode ser recuperada de sua transformada de Fourrier discreta.

A teoria, introduzida por Lev Pontryagin e combinada com com a medida de Haar, introduzida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoria dos grupos duais de um grupo abeliano localmente compacto.

Tal fato é análogo ao espaço vetorial dual de um espaço vetorial: um espaço vetorial de dimensão finita V e seu espaço vetorial dual V* não são naturalmente isomórficos, mas a álgebra do endomorfismo (álgebra matricial) de um é isomórfica ao oposto da álgebra do endomorfismo do outro : $End(V)\cong End(V^{*})^{op}$ , pela transposta. Similarmente, um grupo $G$ e seu grupo dual ${\widehat {G}}$ não são em geral isomórficos, mas seus anéis de endomorfismo são opostos um ao outro: $End(G)\cong End({\widehat {G}})^{op}$ . Mais categoricamente, isso não é somente um isomorfismo das álgebras do endomorfismo, mas uma equivalência contravariante das categorias.^[2]

Definição

Um grupo topológico é um grupo localmente compacto se o espaço topológico subjacente é localmente compacto e Hausdorff; um grupo topológico é abeliano se o grupo subjacente é abeliano. Exemplos de grupos abelianos localmente compactos incluem os grupos abelianos finitos, os inteiros (ambos para a topologia discreta, que é também induzida pela métrica usual), os números reais, o grupo circular T(ambos com sua topologia métrica usual), e também os números p-ádicos (com sua topologia p-ádica usual).^[3]

Para um grupo abeliano localmente compacto $G$ , o dual de Pontryagin é o grupo ${\widehat {G}}$ dos contínuos homomorfismos de grupo de $G$ para o grupo circular T. Ou seja,

${\widehat {G}}:=Hom(G,T)$ .

O dual de Pontryagin ${\widehat {G}}$ é usualmente dotado da topologia dada pela convergência uniforme em conjuntos compactos (que é a topologia induzida pela topologia compacto-aberta no espaço de todas as funções contínuas de $G$ para $T$ .

Por exemplo,

${\widehat {\mathbb {Z} }}=T,\ {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} ,\ {\widehat {T}}=\mathbb {Z}$

Referências

↑ Hewitt, Edwin, 1920- (1979). Abstract harmonic analysis 2nd ed ed. New York: Springer. OCLC 51369110
↑ Enock, Michel. (1992). Kac algebras and duality of locally compact groups. Berlin: Springer-Verlag. OCLC 26801760
↑ Morris, Sidney A., 1947- (1977). Pontryagin duality and the structure of locally compact abelian groups. Cambridge: Cambridge University Press. OCLC 836870848

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[1] Hewitt, Edwin, 1920- (1979). Abstract harmonic analysis 2nd ed ed. New York: Springer. OCLC 51369110

[2] Enock, Michel. (1992). Kac algebras and duality of locally compact groups. Berlin: Springer-Verlag. OCLC 26801760

[3] Morris, Sidney A., 1947- (1977). Pontryagin duality and the structure of locally compact abelian groups. Cambridge: Cambridge University Press. OCLC 836870848

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