Discussão:Transformada de Fourier

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ASSUNTO: Definição de delta.

Seria desejável incluir o significado da função delta(t) (dirac) na seção de exemplos deste artigo (Transformada de Fourier). Eu notei também que não há definição para a função dirac delta. Talvez seja também o momento de prover-lhe uma entrada, tendo em vista sua vasta aplicação como por exemplo em neurociência teórica.

O verbete Delta de Dirac já existe há algum tempo e está referenciado na seção de exemplos (Algumas transformadas de Fourier).MaskedAce (discussão) 17h03min de 23 de julho de 2012 (UTC)

Definição de Transformada direta e Inversa

A inversa de Fourier no artigo esta normalizada, isso só é o caso quando a definição da função Delta de Dirac também o é. Observe a demonstração a seguir

De acordo com o presente artigo, as transformadas direta e inversa são:

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt$

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F(\omega ))={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .$

substituindo de volta a inversa na expressão da transformada direta obtem-se

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ')e^{i\omega 't}\,d\omega 'e^{-i\omega t}\,dt$

rearrumando as integrais obtemos

$F(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ')e^{i\omega 't}\,e^{-i\omega t}\,d\omega '\,dt$

$F(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ')\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(\omega '-\omega )t}\,dt\,d\omega '$

observando que

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(\omega '-\omega )t}\,dt=\delta (\omega '-\omega )$

obtemos

$F(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ')\delta (\omega '-\omega )\,d\omega '$

oque levaria a

$F(\omega )={\frac {1}{2\pi }}F(\omega )$

Que é uma incoerência...

Desta maneira, a definição padrão (ver Fourier Transform) é posta SEM a normalização

O correto seria $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(\omega '-\omega )t}\,dt=2\pi \delta (\omega -\omega ').$

Note que (supondo $\omega '=0$):

$\int _{-M}^{M}e^{-i\omega t}\,dt=2{\frac {\sin(\omega M)}{\omega }}$.

A integral em $\omega$ da expressão acima é sempre $2\pi$. Quando $M$ tende ao infinito, a função acima tende (como distribuição em $\omega$) para $2\pi \delta (\omega )$.

Revisei a tabela de pares de transformadas. Ela realmente continha alguns erros, mas F(1) estava com o valor correto de 2π·δ(ω). Provavelmente alguém já havia corrigido o erro mencionado. Sendo assim, removi a solicitação de revisão do local. O verbete pode ser muito melhorado com o acréscimo de mais informações, mas não traz nada errado. As definições estão corretas e são coerentes em todo o texto, inclusive na tabela. O problema é que existem várias convenções para definição das transformações direta e inversa, o que causa muita confusão. Na matemática de hoje, dá-se preferência a outra convenção, mas o autor do verbete escolheu a originalmente usada por Fourier, ainda hoje muito usada por físicos e engenheiros.MaskedAce (discussão) 01h30min de 22 de setembro de 2012 (UTC)