Conjunto de Cantor
 | Este artigo não cita fontes confiáveis. (Agosto de 2021) |
O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo.
Construção
[editar | editar código-fonte]
A construção do conjunto se faz por indução matemática:
- Parte-se do intervalo ;
![{\displaystyle A_{0}=[0,1]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f5dba85d26637dd336570f60aa69bb3ea2b1d2)
- No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo:
![{\displaystyle A_{1}=\left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89940b1a6063d10908488ddf95b2e5289063f617)
- No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo 1:
- ;
![{\displaystyle A_{2}=\left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {3}{9}}\right]\cup \left[{\frac {6}{9}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c5f914dcfda2a75ee1d61b2925d2310362d4ad)
- E recursivamente desta forma, no passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-1;
O conjunto de Cantor é definido como a intersecção dos conjuntos produzidos:
Elementos
[editar | editar código-fonte]Qualquer número real entre 0 e 1 que pode ser expresso, na base 3, apenas usando-se os dígitos (trits) 0 e 2 é um elemento deste conjunto. Por exemplo, 1/3 = 0,1 (na base 3) pode ser escrito como 1/3 = 0,02222..., logo pertence ao conjunto. 1/2 = 0,1111... (na base 3) não pode, logo não pertence ao conjunto.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]O conjunto de Cantor:
- é fechado (por ser uma interseção de conjuntos fechados);
- é infinito não numerável;
- é um fractal;
- tem medida nula;