Conjectura da soma de potências de Euler

A conjectura de Euler dizia que uma equação do tipo $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots +a_{n}^{k}=b^{k}$ só teria solução de inteiros positivos se a quantidade n de parcelas fosse, no mínimo, igual ao expoente (inteiro) k.

Esta conjectura foi proposta por Leonhard Euler em 1769. Tratava-se de uma tentativa de generalização do Último Teorema de Fermat (1637).

No entanto, esta conjectura foi provada falsa por L. J. Lander e T. R. Parkin em 1966 , ao exibirem um contra-exemplo de uma potência de 5 obtida pela soma de apenas 4 potências de 5:

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}$.

Em 1986, Noam Elkies, da Universidade de Harvard, encontrou um método para construir contra-exemplos para o caso de k = 4 ($x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}$). Seu contra-exemplo foi:

$2.682.440^{4}+15.365.639^{4}+18.796.760^{4}=20.615.673^{4}$.

Em 1988, Roger Frye encontrou o menor contra-exemplo possível para k = 4 usando técnicas computacionais sugeridas por Noam Elkies:

$95.800^{4}+217.519^{4}+414.560^{4}=422.481^{4}$

Vale notar que a determinação de 1 contra-exemplo gera uma família de infinitos contra-exemplos.

Para isso, basta notar que: se $a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots +a_{n}^{k}=b^{k}$ , basta multiplicarmos a sentença por $c^{k}$.

O que nos fornece: $(c.a_{1})^{k}+(c.a_{2})^{k}+(c.a_{3})^{k}+\cdots +(c.a_{n})^{k}=(c.b)^{k}$

Ligações externas

• EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
• Euler Quartic Conjecture em MathWorld
• Diophantine Equation — 4th Powers em MathWorld
• Euler's Sum of Powers Conjecture em MathWorld