Conjectura de Collatz

A sequência de Collatz começando em 127. A sequência sobe até o máximo 4372 antes de alcançar o 4, 2, 1.

A conjectura de Collatz é uma conjectura matemática que recebeu este nome em referência ao matemático alemão Lothar Collatz, que foi o primeiro a propô-la, em 1937.

Além desse nome, este problema também é conhecido por Problema 3x + 1, Conjectura de Ulam (pelo matemático polonês-americano Stanisław Marcin Ulam), Problema de Kakutani (pelo matemático nipo-americano Shizuo Kakutani), Conjectura de Thwaites (pelo acadêmico britânico Bryan Thwaites), Algoritmo de Hasse (pelo matemático alemão Helmut Hasse) ou Problema de Siracusa.

Esta conjectura aplica-se a qualquer número natural inteiro, e diz-nos para, se este número for par, o dividir por 2 (/2), e se for impar, para multiplicar por 3 e adicionar 1 (*3+1). Desta forma, por exemplo, se a sequência iniciar com o número 5 ter-se-á: 5; 16; 8; 4; 2; 1. A conjectura apresenta uma regra dizendo que, qualquer número natural inteiro, quando aplicado a esta regra, eventualmente sempre chegará a 4, que se converte em 2 e termina em 1. Essa sequência em questão também pode ser chamada de Números de Granizo ou Números Maravilhosos. A explicação destes últimos nomes está em "como o granizo nas nuvens antes de cair, os números saltam de um lugar ao outro antes de chegar ao 4, 2, 1".

A explicação para estes saltos, quando ocorrem Números de Granizo, está na quantidade de fatores primos iguais a 2 quando decompomos este número, o que determina quantas vezes, de forma sucessiva, será aplicada a conjectura para números pares f(x)=x/2. Por exemplo, a enésima potência de 2 (2ⁿ) chegará a 1 em n passos, o que demonstra ser infinita a abrangência da Conjectura de Collatz. Vale ressaltar que as potências pares de 2 são acessadas por 3x+1, por exemplo, 3x5+1=16 e 3x21+1=64.

O matemático alemão Gerhard Opfer publicou em maio de 2011 um artigo com o teorema que supostamente provava esta conjectura, causando alvoroço na comunidade matemática.. Em 17 de julho de 2011, entretanto, o autor publicou uma nota, na última página de seu artigo, onde reconhecia que uma de suas afirmações estava incompleta, o que não garantia a ele a prova do problema.

A sequência de Collatz começando em 77031. Esta é a maior sequência obtida para x menor que 100000.

A Tabela a seguir descreve a porcentagem de números pares e ímpares para a quantidade de números dados. Em geral, ocorre o dobro de números pares em relação aos ímpares conforme mostrado nessa tabela.

Quantidade x	10	100	1000	10000	100000
%Par	5,00	21,37	39,88	56,76	71,88
%Ímpar	2,70	11,05	20,65	29,20	36,64

Enunciado do problema

Considere a seguinte operação em um número inteiro positivo arbitrário qual que:

• Se o número é par, divida-o por 2;
• Se é ímpar, multiplique-o por 3 e some 1

Em notação aritmética, a função $C$ é definida tal que:

$C(x)={\begin{cases}3x+1&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}\\x/2&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}}\end{cases}}$

Ou equivalente:

$C(x)={\begin{cases}{\tfrac {{\sqrt {2}}^{x-2}({\tfrac {x}{2}})!({x-1})!!}{\Gamma (x)}},&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}}\\{\tfrac {{4^{x}2^{x}}({3x+1})!({6x+1})!!}{\Gamma (6x+2)}},&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}$

Onde a presença das funções fatorial, duplo fatorial e a função gama é observada.

Implementações de computador

Na linguagem Python:

def collatz(x):
    while x > 1:
        if x % 2 == 0:
            x /= 2
        else:
            x = 3*x+1

Na linguagem Java:

static void collatz(int x) {
	System.out.println(x);
	if (x>1) {
		collatz( (x%2==0) ? x/2 : (3*x+1) );
	}
}

Na linguagem C:

void collatz(int x)
{	
	printf("%d ", x);	
	if (1 == x)
		return;
	else if (x % 2 == 0)		
		collatz(x/2);
	else
		collatz(3*x+1);
}

Na linguagem PHP:

function collatz($x){
	if($x == 1){
		return $x; 
	}else if($x % 2 == 0){
		$result = $x / 2;
		return collatz($result);
	}else{
		$result = ($x * 3) + 1;
		return collatz($result);
	}
}

Na linguagem Haskell:

collatz :: (Integral a) => a -> [a]  
collatz 1 = [1]  
collatz n  
    | even n =  n:collatz (n `div` 2)  
    | odd n  =  n:collatz (n*3 + 1)

Na linguagem Ruby:

def collatz(n)
  puts n
  return if n == 1
  return collatz(n*3 + 1) if n.odd?
  return collatz(n/2)
end

Importância

Segundo o matemático Greg Muller, a importância desta conjectura está em que "os matemáticos suspeitam que solucionar a conjectura de Collatz abrirá novos horizontes e desenvolverá novas e importantes técnicas na teoria dos números". Já Derek Jennings comenta que "outra razão é que, por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática. Eu mesmo soube de sua existência no ensino médio e não resisti a seu encanto".

Ver também

• Número de Mersenne
• Produtos Notáveis
• Teorema fundamental da aritmética
• Progressão geométrica